Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t, onde para z temos: z=e^x y tg y, x=s+2 t, y=st;

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = e^x y tan y, x = s + 2 t, y = st em relação a e . A gente tem as funções:
Então, vamos precisar entender como depende de e através de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Ela serve quando temos uma função composta, ou seja, partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s depende de partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t e , que por sua vez dependem de e . A regra da cadeia nos diz que:
e
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular z = e^x y tan y Rightarrow partial zpartial x = e^x y tan y cdot y e z = e^x y tan y Rightarrow partial zpartial y = e^x y tan y cdot x + e^x y sec^2 y .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos derivar x = s + 2 t Rightarrow partial xpartial s = 1, partial xpartial t = 2 e y = st Rightarrow partial ypartial s = 1t, partial ypartial t = -st^2 em relação a e .
Para e :
Para e :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial s = e^x y tan y cdot y cdot 1 + (e^x y tan y cdot x + e^x y sec^2 y) cdot 1t .
Para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial t = e^x y tan y cdot y cdot 2 + (e^x y tan y cdot x + e^x y sec^2 y) cdot (-st^2)
Substituindo:
Para :
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial s = e^x y tan y cdot y + e^x y tan y cdot x + e^x y sec^2 yt são:
partial zpartial t = 2 e^x y tan y cdot y - st^2 (e^x y tan y cdot x + e^x y sec^2 y)

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