Utilize a Regra da Cadeia para determinar
e
, onde para
temos:
;
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A gente tem as funções:
Então, vamos precisar entender como
depende de
e
através de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Ela serve quando temos uma função composta, ou seja,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. A regra da cadeia nos diz que:
e
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
e
.
Para
e
:
Para
e
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar
e
.
Para
:
Substituindo:
Para
:
Substituindo:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
.
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
;
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
;