Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional da função
no ponto
e também um vetor unitário
que aponta na direção dessa derivada máxima. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e usar algumas propriedades da matemática vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto dado na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função
, que aponta na direção de máxima subida da função. O produto escalar entre o gradiente e o vetor
nos dá o quanto a função está aumentando nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto dado é
.
Passo 5
O valor máximo da derivada direcional é o módulo do gradiente. Vamos calcular esse módulo:
Esse é o valor máximo da derivada direcional.
Passo 6
Para encontrar o vetor unitário
na direção da derivada direcional máxima, basta normalizar o gradiente:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional é
e o vetor unitário na direção dessa derivada máxima é
.
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no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
;
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e
, onde para
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;
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.
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. A partir do ponto
determine:
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a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;