Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto e também um vetor unitário que aponta na direção dessa derivada máxima. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e usar algumas propriedades da matemática vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto dado na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente da função , que aponta na direção de máxima subida da função. O produto escalar entre o gradiente e o vetor nos dá o quanto a função está aumentando nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto dado é .

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional é o módulo do gradiente. Vamos calcular esse módulo:
Esse é o valor máximo da derivada direcional.

Passo 6

Para encontrar o vetor unitário na direção da derivada direcional máxima, basta normalizar o gradiente:

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é e o vetor unitário na direção dessa derivada máxima é .

Exercícios relacionados

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
;
Utilize a Regra da Cadeia para determinar e , onde para temos: ;
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.
A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;