Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a direção de maior crescimento da função
no ponto
e também determinar a derivada da função nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda conforme mudamos cada variável individualmente.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 4
O vetor gradiente
é formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior crescimento da função. Então, no ponto
, temos:
Passo 5
Para encontrar a direção de maior crescimento, precisamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir o vetor pelo seu comprimento para obter um vetor unitário na mesma direção.
O comprimento do vetor
é:
Então, a direção de maior crescimento é:
Passo 6
A derivada da função na direção de maior crescimento é simplesmente o comprimento do vetor gradiente, que já calculamos:
Resposta
A direção de maior crescimento da função no ponto
é
e a derivada nessa direção é
.
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Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
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em
;
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
;
A temperatura de chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
determine:
a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
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Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
;