Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a direção de maior crescimento da função no ponto e também determinar a derivada da função nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda conforme mudamos cada variável individualmente.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 4

O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior crescimento da função. Então, no ponto , temos:

Passo 5

Para encontrar a direção de maior crescimento, precisamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir o vetor pelo seu comprimento para obter um vetor unitário na mesma direção.
O comprimento do vetor é:
Então, a direção de maior crescimento é:

Passo 6

A derivada da função na direção de maior crescimento é simplesmente o comprimento do vetor gradiente, que já calculamos:

Resposta

A direção de maior crescimento da função no ponto é e a derivada nessa direção é .

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Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;
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;
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em ;