Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido: precisamos esboçar a curva de nível da função
que passa pelo ponto
, ou seja, a curva
. Além disso, devemos desenhar o vetor gradiente da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de curvas de nível e vetores gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
no ponto
:
Passo 3
A curva de nível que passa por
é aquela onde
. Então, a equação da curva de nível é:
Passo 4
Essa equação representa uma hipérbole, já que é da forma
. Para esboçar essa curva, podemos traçar pontos que satisfazem a equação e desenhar a hipérbole correspondente.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O vetor gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Passo 6
Vamos calcular o vetor gradiente no ponto
:
Resposta
A curva de nível é
e o vetor gradiente em
é
.
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Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
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