Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido: precisamos esboçar a curva de nível da função que passa pelo ponto , ou seja, a curva . Além disso, devemos desenhar o vetor gradiente da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de curvas de nível e vetores gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto :

Passo 3

A curva de nível que passa por é aquela onde . Então, a equação da curva de nível é:

Passo 4

Essa equação representa uma hipérbole, já que é da forma . Para esboçar essa curva, podemos traçar pontos que satisfazem a equação e desenhar a hipérbole correspondente.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O vetor gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:

Passo 6

Vamos calcular o vetor gradiente no ponto :

Resposta

A curva de nível é e o vetor gradiente em é .

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