Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de três variáveis, , e um ponto específico . A pergunta é para determinar a taxa de variação máxima dessa função nesse ponto e a direção em que essa variação máxima ocorre.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função e a magnitude desse gradiente é justamente a taxa de variação máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, precisamos calcular nesse ponto:
Então,
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A taxa de variação máxima da função no ponto dado é a magnitude do gradiente nesse ponto. Para calcular a magnitude de um vetor , usamos a fórmula:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Então, a taxa de variação máxima é .

Passo 5

A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é exatamente a direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário (ou seja, de direção pura), dividimos o gradiente pela sua magnitude:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
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