Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de três variáveis,
, e um ponto específico
. A pergunta é para determinar a taxa de variação máxima dessa função nesse ponto e a direção em que essa variação máxima ocorre.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função e a magnitude desse gradiente é justamente a taxa de variação máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, precisamos calcular
nesse ponto:
Então,
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
A taxa de variação máxima da função no ponto dado é a magnitude do gradiente nesse ponto. Para calcular a magnitude de um vetor
, usamos a fórmula:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Então, a taxa de variação máxima é
.
Passo 5
A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é exatamente a direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário (ou seja, de direção pura), dividimos o gradiente pela sua magnitude:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
: