Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva de nível da função que passa pelo ponto e também desenhar o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de curvas de nível e vetor gradiente que são importantes em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis como é o conjunto de todos os pontos que têm o mesmo valor de . Ou seja, para um valor específico , a curva de nível é definida por .

Passo 3

No nosso caso, queremos a curva de nível que passa pelo ponto . Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Então, a curva de nível que nos interessa é onde .

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação da curva de nível:
Essa é a equação de uma elipse, já que os coeficientes de e são diferentes.

Passo 5

Para esboçar a elipse, podemos rearranjar a equação:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 2 na direção e semi-eixo menor de comprimento 1 na direção .

Passo 6

Agora, vamos falar sobre o vetor gradiente. O vetor gradiente de uma função aponta na direção de crescimento mais rápido da função e é perpendicular às curvas de nível.
Para encontrar o gradiente de , derivamos parcialmente em relação a e :

Passo 7

Vamos calcular o gradiente no ponto :
Então, o vetor gradiente em é .

Resposta

A curva de nível de que passa pelo ponto é uma elipse definida por . O vetor gradiente nesse ponto é .
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