Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva de nível da função
que passa pelo ponto
e também desenhar o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de curvas de nível e vetor gradiente que são importantes em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis como
é o conjunto de todos os pontos
que têm o mesmo valor de
. Ou seja, para um valor específico
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
No nosso caso, queremos a curva de nível que passa pelo ponto
. Vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Então, a curva de nível que nos interessa é onde
.
Passo 4
Agora, vamos escrever a equação da curva de nível:
Essa é a equação de uma elipse, já que os coeficientes de
e
são diferentes.
Passo 5
Para esboçar a elipse, podemos rearranjar a equação:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 2 na direção
e semi-eixo menor de comprimento 1 na direção
.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre o vetor gradiente. O vetor gradiente de uma função
aponta na direção de crescimento mais rápido da função e é perpendicular às curvas de nível.
Para encontrar o gradiente de
, derivamos parcialmente em relação a
e
:
Passo 7
Vamos calcular o gradiente no ponto
:
Então, o vetor gradiente em
é
.
Resposta
A curva de nível de
que passa pelo ponto
é uma elipse definida por
. O vetor gradiente nesse ponto é
.
–>
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Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
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no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
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Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
: