Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor indica a direção em que a função está crescendo mais rapidamente no ponto dado.

Passo 5

A taxa de variação máxima é o módulo (ou tamanho) do vetor gradiente. Para calcular isso, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente, ou seja, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
çã
Essa é a direção em que a função aumenta mais rapidamente no ponto .

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é aproximadamente e ocorre na direção do vetor .

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