Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
indica a direção em que a função
está crescendo mais rapidamente no ponto dado.
Passo 5
A taxa de variação máxima é o módulo (ou tamanho) do vetor gradiente. Para calcular isso, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente, ou seja, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
Essa é a direção em que a função
aumenta mais rapidamente no ponto
.
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é aproximadamente
e ocorre na direção do vetor
.
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Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?