Determine a taxa de variação máxima de
no ponto
e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e a direção em que isso ocorre. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com o estudo das derivadas parciais e do gradiente de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como ele está relacionado à taxa de variação máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação máxima. Em cálculo multivariável, a taxa de variação máxima de uma função
em um ponto ocorre na direção do vetor gradiente de
nesse ponto. O gradiente, representado por
, é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja:
Assumindo que
é diferenciável em
, precisamos encontrar
e
nesse ponto.
Passo 4
Depois de encontrar as derivadas parciais, o valor da taxa de variação máxima será o módulo do vetor gradiente:
Esse valor representa quão rapidamente a função
está aumentando na direção do gradiente.
Passo 5
Para determinar a direção em que ocorre a taxa de variação máxima, vamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir cada componente do gradiente pelo seu módulo:
Esse vetor unitário aponta exatamente na direção onde a função
aumenta mais rapidamente no ponto
.
Resposta
Portanto, a taxa de variação máxima de
no ponto
é igual ao módulo do gradiente
nesse ponto, e essa variação ocorre na direção do próprio vetor gradiente.