Determine a taxa de variação máxima de f no ponto (0, pi) e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a taxa de variação máxima da função no ponto e a direção em que isso ocorre. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com o estudo das derivadas parciais e do gradiente de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como ele está relacionado à taxa de variação máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação máxima. Em cálculo multivariável, a taxa de variação máxima de uma função em um ponto ocorre na direção do vetor gradiente de nesse ponto. O gradiente, representado por , é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é dado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja:
Assumindo que é diferenciável em , precisamos encontrar e nesse ponto.

Passo 4

Depois de encontrar as derivadas parciais, o valor da taxa de variação máxima será o módulo do vetor gradiente:
Esse valor representa quão rapidamente a função está aumentando na direção do gradiente.

Passo 5

Para determinar a direção em que ocorre a taxa de variação máxima, vamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir cada componente do gradiente pelo seu módulo:
çã
Esse vetor unitário aponta exatamente na direção onde a função aumenta mais rapidamente no ponto .

Resposta

Portanto, a taxa de variação máxima de no ponto é igual ao módulo do gradiente nesse ponto, e essa variação ocorre na direção do próprio vetor gradiente.

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