Encontre os limites a seguir:
(j) lim (x, y) longrightarrow(1,1) x^3+y^3x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite de uma função quando lim (x, y) to (1,1) x^3 + y^3x + y se aproxima de . A função é:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que são parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e ver o que acontece quando e se aproximam de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) . Sabia que podemos fatorar a soma de dois cubos? A fórmula é:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
Aqui, e . Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na nossa expressão original:
x^3 + y^3x + y = (x + y)(x^2 - xy + y^2)x + y
Viu que o cancela no numerador e no denominador?

Passo 4

Após cancelar x^2 - xy + y^2 , ficamos com:
1^2 - (1)(1) + 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1
Agora, para encontrar o limite quando , simplesmente substituímos e por 1 nessa expressão:

Resposta

lim (x, y) to (1,1) x^3 + y^3x + y = 1

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