Para a hélice circular
, determine uma reparametrização utilizando o comprimento de arco obtido no item (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para reparametrizar a hélice circular usando o comprimento de arco. Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço, onde a reparametrização pelo comprimento de arco nos ajuda a descrever a curva de uma forma mais natural, já que a velocidade ao longo da curva será constante. Para resolver isso, vamos precisar calcular o comprimento de arco da hélice e então reescrever a parámetro original
em termos desse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que nos dará o vetor velocidade da hélice:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude desse vetor velocidade, que é a velocidade instantânea ao longo da curva:
Sabemos que , então:
Passo 4
Com a magnitude constante da velocidade, podemos calcular o comprimento de arco
em função de
integrando a magnitude da velocidade:
Passo 5
Agora, vamos expressar
em termos de
para reparametrizar a hélice. Resolvendo a equação
para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão original da hélice
por
para obter a reparametrização em termos do comprimento de arco
:
Resposta
A reparametrização da hélice circular utilizando o comprimento de arco é: