Para a hélice circular sigma(t) = (cos(t), sen(t), t), determine uma reparametrização utilizando o comprimento de arco obtido no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para reparametrizar a hélice circular usando o comprimento de arco. Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço, onde a reparametrização pelo comprimento de arco nos ajuda a descrever a curva de uma forma mais natural, já que a velocidade ao longo da curva será constante. Para resolver isso, vamos precisar calcular o comprimento de arco da hélice e então reescrever a parámetro original em termos desse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função sigma(t) em relação a t, que nos dará o vetor velocidade da hélice:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude desse vetor velocidade, que é a velocidade instantânea ao longo da curva:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com a magnitude constante da velocidade, podemos calcular o comprimento de arco s em função de t integrando a magnitude da velocidade:

Passo 5

Agora, vamos expressar t em termos de s para reparametrizar a hélice. Resolvendo a equação para t:

Passo 6

Finalmente, substituímos t na expressão original da hélice sigma(t) por para obter a reparametrização em termos do comprimento de arco s:

Resposta

A reparametrização da hélice circular utilizando o comprimento de arco é:

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