Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis , um ponto específico e um vetor . Precisamos:
  1. Determinar o gradiente de .
  2. Calcular o gradiente no ponto .
  3. Encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento da função, e a derivada direcional, que nos mostra como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis.
Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
Explicando: Derivamos em relação a mantendo e constantes, resultando em . Para , a derivada em relação a é 0, pois não depende de . Já derivado em é .
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, ao derivar em relação a , obtemos . A derivada de em relação a é , e não depende de , então a derivada é 0.
  1. Derivada parcial em relação a :
Similarmente, derivando em relação a obtemos . A derivada de em relação a é , e não depende de , então a derivada é 0.
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Isso significa que vamos substituir , e nas expressões que encontramos para o gradiente.
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Por fim, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor . Para isso, usamos a derivada direcional, que é calculada pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, precisamos transformar em um vetor unitário :
Onde é o comprimento de :
Então,
Agora, a derivada direcional é:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de em na direção do vetor é .

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Esboce o gráfico das seguintes funções:
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de indicados:
e
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.