Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis
, um ponto específico
e um vetor
. Precisamos:
- Determinar o gradiente de
. - Calcular o gradiente no ponto
. - Encontrar a taxa de variação de
em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento da função, e a derivada direcional, que nos mostra como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada uma das suas variáveis.
Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
Explicando: Derivamos
em relação a
mantendo
e
constantes, resultando em
. Para
, a derivada em relação a
é 0, pois não depende de
. Já
derivado em
é
.
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui, ao derivar
em relação a
, obtemos
. A derivada de
em relação a
é
, e
não depende de
, então a derivada é 0.
- Derivada parcial em relação a
:
Similarmente, derivando
em relação a
obtemos
. A derivada de
em relação a
é
, e
não depende de
, então a derivada é 0.
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Isso significa que vamos substituir
,
e
nas expressões que encontramos para o gradiente.
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. Para isso, usamos a derivada direcional, que é calculada pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, precisamos transformar
em um vetor unitário
:
Onde
é o comprimento de
:
Então,
Agora, a derivada direcional
é:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção do vetor
é
.
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Esboce o gráfico das seguintes funções:
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.