Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função , um ponto e um vetor . A gente precisa:
  1. Encontrar o gradiente de .
  2. Calcular esse gradiente no ponto .
  3. Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ele nos dá a direção de maior crescimento da função.
A função é . Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de é:
Isso responde a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir , e na expressão do gradiente.
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, o gradiente em é:

Passo 6

Por último, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
A taxa de variação na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de em com a vetor-direção unitário na direção de .
Primeiro, normalizamos :
Então, o vetor unitário é:
Agora, fazemos o produto escalar com o gradiente em :
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Esboce o gráfico das seguintes funções: