Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função
, um ponto
e um vetor
. A gente precisa:
- Encontrar o gradiente de
. - Calcular esse gradiente no ponto
. - Determinar a taxa de variação de
em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ele nos dá a direção de maior crescimento da função.
A função é
. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a
,
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de
é:
Isso responde a primeira parte do exercício.
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
,
e
na expressão do gradiente.
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, o gradiente em
é:
Passo 6
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
A taxa de variação na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com a vetor-direção unitário na direção de
.
Primeiro, normalizamos
:
Então, o vetor unitário
é:
Agora, fazemos o produto escalar com o gradiente em
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Esboce o gráfico das seguintes funções: