Esboçar o gráfico:
Passo 1
Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente aprende a desenhar gráficos de funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar identificar que tipo de superfície essa equação representa e encontrar algumas características dela, como interceptos e a direção que ela abre.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície a gente está lidando aqui. A equação
é uma equação quadrática nas variáveis
e
. Isso geralmente representa um paraboloide. Como os termos
e
têm sinais negativos, isso indica que o paraboloide abre para baixo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Para encontrar o intercepto com o eixo
, a gente coloca
e
:
Então, o intercepto no eixo
é o ponto
.
Para os interceptos com os eixos
e
, vamos colocar
:
Para o eixo
(
):
Então, os interceptos no eixo
são
e
.
Para o eixo
(
):
Portanto, os interceptos no eixo
são
e
.
Passo 4
Vamos analisar a orientação do paraboloide. Como os coeficientes de
e
são negativos, isso significa que o paraboloide está “virado para baixo”. O ponto mais alto dele é o intercepto no eixo
, que é
.
Passo 5
Com todas essas informações, a gente pode esboçar o gráfico. Vamos marcar os interceptos no eixo
,
e
, e desenhar a forma de um paraboloide que abre para baixo, com o ponto mais alto em
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide que abre para baixo, com vértice no ponto
e interceptos nos eixos
em
e nos eixos
em
.
Exercícios relacionados
Seja a função dada por
. Determinar: a representação gráfica do
.
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o limite da região entre os círculos
e
.
Encontre os limites