Esboçar o gráfico:

Passo 1

Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente aprende a desenhar gráficos de funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar identificar que tipo de superfície essa equação representa e encontrar algumas características dela, como interceptos e a direção que ela abre.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície a gente está lidando aqui. A equação é uma equação quadrática nas variáveis e . Isso geralmente representa um paraboloide. Como os termos e têm sinais negativos, isso indica que o paraboloide abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Para encontrar o intercepto com o eixo , a gente coloca e :
Então, o intercepto no eixo é o ponto .
Para os interceptos com os eixos e , vamos colocar :
Para o eixo ( ):
Então, os interceptos no eixo são e .
Para o eixo ( ):
Portanto, os interceptos no eixo são e .

Passo 4

Vamos analisar a orientação do paraboloide. Como os coeficientes de e são negativos, isso significa que o paraboloide está “virado para baixo”. O ponto mais alto dele é o intercepto no eixo , que é .

Passo 5

Com todas essas informações, a gente pode esboçar o gráfico. Vamos marcar os interceptos no eixo , e , e desenhar a forma de um paraboloide que abre para baixo, com o ponto mais alto em .

Resposta

O gráfico de é um paraboloide que abre para baixo, com vértice no ponto e interceptos nos eixos em e nos eixos em .

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Encontre os limites