Esboçar o gráfico: z = 4 - x^2 - 4y^2

Passo 1

Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente aprende a desenhar gráficos de funções de duas variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar identificar que tipo de superfície essa equação representa e encontrar algumas características dela, como interceptos e a direção que ela abre.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície a gente está lidando aqui. A equação é uma equação quadrática nas variáveis x e y. Isso geralmente representa um paraboloide. Como os termos x^2 e têm sinais negativos, isso indica que o paraboloide abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Para encontrar o intercepto com o eixo z, a gente coloca x = 0 e :
Então, o intercepto no eixo z é o ponto .
Para os interceptos com os eixos x e y, vamos colocar :
Para o eixo x ( ):
Então, os interceptos no eixo x são e .
Para o eixo y ( x = 0):
Portanto, os interceptos no eixo y são e .

Passo 4

Vamos analisar a orientação do paraboloide. Como os coeficientes de x^2 e y^2 são negativos, isso significa que o paraboloide está “virado para baixo”. O ponto mais alto dele é o intercepto no eixo z, que é .

Passo 5

Com todas essas informações, a gente pode esboçar o gráfico. Vamos marcar os interceptos no eixo x, y e z, e desenhar a forma de um paraboloide que abre para baixo, com o ponto mais alto em .

Resposta

O gráfico de é um paraboloide que abre para baixo, com vértice no ponto e interceptos nos eixos x em e nos eixos y em .

Exercícios relacionados