Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado pela função no plano . A pergunta é: em qual direção esse potencial cresce mais rápido e em qual ele decresce mais rápido? Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função , que nos mostra exatamente essas direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente de , que é representado por . O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a e .
Então, vamos calcular:
Portanto, o gradiente fica:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, sabemos que ele aponta na direção em que aumenta mais rapidamente. Se quisermos saber em qual direção diminui mais rapidamente, é só olhar na direção oposta ao gradiente, ou seja, .
Então:
  • Direção de maior aumento do potencial elétrico: na direção do vetor , que é .
  • Direção de maior diminuição do potencial elétrico: na direção do vetor oposto, , que é .

Resposta

O potencial elétrico cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente e decresce mais rapidamente na direção oposta, .

Exercícios relacionados

Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :
Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
Determine o valor do campo elétrico em .