Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado pela função
no plano
. A pergunta é: em qual direção esse potencial cresce mais rápido e em qual ele decresce mais rápido? Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função
, que nos mostra exatamente essas direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente de
, que é representado por
. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função
aumenta mais rapidamente. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Então, vamos calcular:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 3
Agora que temos o gradiente, sabemos que ele aponta na direção em que
aumenta mais rapidamente. Se quisermos saber em qual direção
diminui mais rapidamente, é só olhar na direção oposta ao gradiente, ou seja,
.
Então:
-
Direção de maior aumento do potencial elétrico: na direção do vetor
, que é . -
Direção de maior diminuição do potencial elétrico: na direção do vetor oposto,
, que é .
Resposta
O potencial elétrico
cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente
e decresce mais rapidamente na direção oposta,
.
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Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Determine o valor do campo elétrico em .
Determine o valor do campo elétrico em