Se o potencial elétrico em um ponto (x, y) do plano x y é V(x, y) então o vetor campo elétrico no ponto (x, y) é E = -nabla V. Suponha que V(x, y) = e^(-2 x) cos(2 y).
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado pela função no plano . A pergunta é: em qual direção esse potencial cresce mais rápido e em qual ele decresce mais rápido? Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função , que nos mostra exatamente essas direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente de , que é representado por . O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a e .
Então, vamos calcular:
Portanto, o gradiente fica:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, sabemos que ele aponta na direção em que aumenta mais rapidamente. Se quisermos saber em qual direção diminui mais rapidamente, é só olhar na direção oposta ao gradiente, ou seja, .
Então:
  • Direção de maior aumento do potencial elétrico: na direção do vetor , que é .
  • Direção de maior diminuição do potencial elétrico: na direção do vetor oposto, , que é .

Resposta

O potencial elétrico cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente e decresce mais rapidamente na direção oposta, .

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