Resolva o problema de valor inicial aplicando o método de solução para uma equação diferencial homogênea.
(1) xy^2 y' = y^3 - x^3 y(1) = 2
(2) 2 x^2 y' = 3 x y + y^2 ; y(1) = -2
(3) (x + y e^(y / x)) dx - x e^(y / x) dy = 0 ; y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro problema! A gente tem uma equação diferencial homogênea de valor inicial. Isso significa que vamos encontrar uma função que resolve a equação e passa por um ponto específico, que nesse caso é . Para isso, vamos precisar entender como manipular equações homogêneas e aplicar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar os próximos passos:
Vamos dividir ambos os lados por para isolar :
Simplificando o lado direito:

Passo 3

Agora, vamos notar que a equação é homogênea, ou seja, podemos usar a substituição . Isso implica que e .

Passo 4

Substituindo e na equação simplificada:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, separamos as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando por :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituindo na equação geral:
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Passo 9

Vamos agora resolver o segundo problema! A equação também é uma equação diferencial de valor inicial, e parece um pouco diferente da primeira. Precisamos encontrar que satisfaz:
com a condição inicial . Vamos usar uma técnica similar, provavelmente substituição para equações não lineares.

Passo 10

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais amigável:
Essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma:
No nosso caso, vamos reorganizar:
Aqui, , , e .

Passo 11

Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos a substituição . Então:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 12

Substituindo da equação original na expressão para :
Simplificando:

Passo 13

Lembrando que , temos . Substituindo:
Agora, essa é uma equação linear de primeira ordem para .

Passo 14

Vamos escrever na forma padrão:
onde e .

Passo 15

Calculamos o fator integrante :

Passo 16

Multiplicamos toda a equação por :
Simplificando:
Isso pode ser escrito como:

Passo 17

Integrando ambos os lados:

Passo 18

Substituindo :
Resolvendo para :
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 19

Agora, usamos a condição inicial :

Passo 20

Substituindo na equação geral:
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por 2:

Passo 21

Vamos agora ao terceiro problema! A equação diferencial apresentada é:
com a condição inicial . Precisamos verificar se é exata ou se precisa de um fator integrante, e então resolver para encontrar .

Passo 22

Primeiro, identificamos e na equação:
Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que , então a equação é exata.

Passo 23

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, fazemos a substituição , então . Porém, percebemos que integrar diretamente fica complicado, então vamos considerar que ao integrar em relação a , mantemos constante:
Fazendo a substituição , , rearranjando:
Mas isso complica mais, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 24

Em vez disso, notamos que a condição de exatidão implica que:
Então, já temos a parte de :
Agora, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a :
Igualando:
Assim:
Mas isso sugere uma inconsistência, indicando que houve um erro na abordagem anterior.

Passo 25

Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando a equação:
Podemos tentar rearranjar para uma forma mais conveniente:
Simplificando:
Ainda é complicado, então talvez uma substituição possa ajudar.

Passo 26

Vamos definir , então e .
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, temos uma equação separável!

Passo 27

Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:

Passo 28

Substituindo :
Agora, aplicamos a condição inicial :

Passo 29

Portanto, a solução geral é:
Para deixar em termos de , aplicamos o logaritmo natural:

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:

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