Resolva o problema de valor inicial aplicando o método de solução para uma equação diferencial homogênea.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro problema! A gente tem uma equação diferencial homogênea de valor inicial. Isso significa que vamos encontrar uma função
que resolve a equação e passa por um ponto específico, que nesse caso é
. Para isso, vamos precisar entender como manipular equações homogêneas e aplicar técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar os próximos passos:
Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Agora, vamos notar que a equação é homogênea, ou seja, podemos usar a substituição
. Isso implica que
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação simplificada:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, separamos as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando por
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituindo
na equação geral:
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Passo 9
Vamos agora resolver o segundo problema! A equação também é uma equação diferencial de valor inicial, e parece um pouco diferente da primeira. Precisamos encontrar
que satisfaz:
com a condição inicial
. Vamos usar uma técnica similar, provavelmente substituição para equações não lineares.
Passo 10
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais amigável:
Essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma:
No nosso caso, vamos reorganizar:
Aqui,
,
, e
.
Passo 11
Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. Então:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 12
Substituindo
da equação original na expressão para
:
Simplificando:
Passo 13
Lembrando que
, temos
. Substituindo:
Agora, essa é uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 14
Vamos escrever na forma padrão:
onde
e
.
Passo 15
Calculamos o fator integrante
:
Passo 16
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando:
Isso pode ser escrito como:
Passo 17
Integrando ambos os lados:
Passo 18
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 19
Agora, usamos a condição inicial
:
Passo 20
Substituindo
na equação geral:
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por 2:
Passo 21
Vamos agora ao terceiro problema! A equação diferencial apresentada é:
com a condição inicial
. Precisamos verificar se é exata ou se precisa de um fator integrante, e então resolver para encontrar
.
Passo 22
Primeiro, identificamos
e
na equação:
Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que
, então a equação é exata.
Passo 23
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, fazemos a substituição
, então
. Porém, percebemos que integrar diretamente fica complicado, então vamos considerar que ao integrar
em relação a
, mantemos
constante:
Fazendo a substituição
,
, rearranjando:
Mas isso complica mais, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 24
Em vez disso, notamos que a condição de exatidão implica que:
Então, já temos a parte de
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Assim:
Mas isso sugere uma inconsistência, indicando que houve um erro na abordagem anterior.
Passo 25
Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando a equação:
Podemos tentar rearranjar para uma forma mais conveniente:
Simplificando:
Ainda é complicado, então talvez uma substituição
possa ajudar.
Passo 26
Vamos definir
, então
e
.
Substituindo na equação:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, temos uma equação separável!
Passo 27
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Passo 28
Substituindo
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Passo 29
Portanto, a solução geral é:
Para deixar
em termos de
, aplicamos o logaritmo natural:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial
é: