Resolva a equação do calor u_xx + r = u_t sujeita às condições:
u(0, t) = u0, u(1, t) = u1, u(x, 0) = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação do calor:
onde representa a temperatura em um ponto e no tempo . As condições que precisamos considerar são:
  • (temperatura na posição 0),
  • (temperatura na posição 1),
  • (temperatura inicial em todo o material).
Para resolver essa equação, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente a separação de variáveis e a superposição de soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo constante . A equação fica:
Aqui, usamos a técnica de separação de variáveis, assumindo que . Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, resolvemos as equações resultantes:
Para :
Para :
A solução geral para depende dos valores de . Considerando as condições de contorno e , obtemos uma série de valores próprios e funções próprias para

Passo 4

A solução homogênea fica então:
Onde são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos supor que é constante no espaço e no tempo, ou seja, .
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então ajustamos nossa suposição. Vamos tentar uma solução particular que depende apenas de :
Integrando duas vezes:
Usamos as condições de contorno para encontrar e .

Passo 6

Aplicando as condições de contorno:
Para :
Para :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Com a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da equação é:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial para determinar os coeficientes :
Resolvendo para , obtemos:

Resposta

A solução da equação do calor dada pelas condições é:

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