Resolva a equação do calor
sujeita às condições:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação do calor:
onde
representa a temperatura em um ponto
e no tempo
. As condições que precisamos considerar são:
-
(temperatura na posição 0), -
(temperatura na posição 1), -
(temperatura inicial em todo o material).
Para resolver essa equação, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente a separação de variáveis e a superposição de soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo constante
. A equação fica:
Aqui, usamos a técnica de separação de variáveis, assumindo que
. Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, resolvemos as equações resultantes:
Para
:
Para
:
A solução geral para
depende dos valores de
. Considerando as condições de contorno
e
, obtemos uma série de valores próprios
e funções próprias
para
Passo 4
A solução homogênea fica então:
Onde
são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos supor que
é constante no espaço e no tempo, ou seja,
.
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então ajustamos nossa suposição. Vamos tentar uma solução particular que depende apenas de
:
Integrando duas vezes:
Usamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Passo 6
Aplicando as condições de contorno:
Para
:
Para
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Com a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da equação é:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para determinar os coeficientes
:
Resolvendo para
, obtemos:
Resposta
A solução da equação do calor dada pelas condições é:
Exercícios relacionados
Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas:
Em seguida, faça os gráficos:
- Um gráfico variando
e mantendo fixo e (todos sobrepostos) e - Um gráfico variando o tempo
e mantendo fixo e (todos sobrepostos)
O potencial elétrico
no ponto
é dado por
Ache a equação da superfície equipotencial
.
Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
(1) Rpt.
(2) Rpt.
(1)
(2)