Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
com as condições de contorno dadas.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de determinar a temperatura de estado estacionário em uma chapa retangular. Estamos lidando com a Equação de Laplace, que é usada para modelar situações de equilíbrio térmico. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Essa é a Equação de Laplace em duas dimensões, onde representa a temperatura na posição da chapa.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que as bordas laterais da chapa (em e ) estão a 0°C, a borda inferior (em ) também está a 0°C, e a borda superior (em ) tem uma temperatura dada pela função .
Passo 4
Vamos usar a separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de u(x, y) = X(x) cdot Y(y) e outra de :
Passo 5
Substituindo X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0 na Equação de Laplace:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda :
Como cada parte depende de variáveis diferentes, cada termo deve ser igual a uma constante negativa :
Passo 6
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
Para :
Passo 7
Resolvendo para r^2 + lambda = 0 implies r = pm iraizlambda , a equação característica é:
X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x)
A solução geral é:
Passo 8
Aplicando as condições de contorno X(0) = A = 0 e X(a) = B sin(raizlambda a) = 0 :
Para lambda = (npia)^2 :
Então, .
Para :
Para que isso seja verdadeiro, precisamos que , onde é um número inteiro positivo. Assim,
Passo 9
Agora, resolvemos para Y''(y) - (npia)^2 Y(y) = 0 com Y(y) = C e^npia y + D e^-npia y :
A solução geral é:
Passo 10
Aplicando as condições de contorno em Y(0) = C + D = 0 implies D = -C :
Para Y(y) = C (e^npia y - e^-npia y) = C sinh(npia y) :
Então,
Passo 11
A solução completa para cada modo un(x, y) = Bn sin(npia x) sinh(npia y) é:
Passo 12
Para satisfazer a condição de contorno f(x) = sumn=1^infty Bn sin(npia x) sinh(npia b) , usamos a expansão em série de Fourier:
Bn = 2a sinh(npia b) integral0^a f(x) sin(npia x) dx
Então, os coeficientes são dados por:
Resposta
A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por: