Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
com as condições de contorno dadas.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de determinar a temperatura de estado estacionário em uma chapa retangular. Estamos lidando com a Equação de Laplace, que é usada para modelar situações de equilíbrio térmico. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Essa é a Equação de Laplace em duas dimensões, onde representa a temperatura na posição da chapa.

Passo 3

As condições de contorno são:
Isso significa que as bordas laterais da chapa (em e ) estão a 0°C, a borda inferior (em ) também está a 0°C, e a borda superior (em ) tem uma temperatura dada pela função .

Passo 4

Vamos usar a separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de e outra de :

Passo 5

Substituindo na Equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Como cada parte depende de variáveis diferentes, cada termo deve ser igual a uma constante negativa :

Passo 6

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Resolvendo para , a equação característica é:
A solução geral é:

Passo 8

Aplicando as condições de contorno e :
Para :
Então, .
Para :
Para que isso seja verdadeiro, precisamos que , onde é um número inteiro positivo. Assim,

Passo 9

Agora, resolvemos para com :
A solução geral é:

Passo 10

Aplicando as condições de contorno em :
Para :
Então,

Passo 11

A solução completa para cada modo é:

Passo 12

Para satisfazer a condição de contorno , usamos a expansão em série de Fourier:
Então, os coeficientes são dados por:

Resposta

A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por:

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