Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
com as condições de contorno dadas.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de determinar a temperatura de estado estacionário em uma chapa retangular. Estamos lidando com a Equação de Laplace, que é usada para modelar situações de equilíbrio térmico. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Essa é a Equação de Laplace em duas dimensões, onde representa a temperatura na posição da chapa.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que as bordas laterais da chapa (em e ) estão a 0°C, a borda inferior (em ) também está a 0°C, e a borda superior (em ) tem uma temperatura dada pela função .
Passo 4
Vamos usar a separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de e outra de :
Passo 5
Substituindo na Equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Como cada parte depende de variáveis diferentes, cada termo deve ser igual a uma constante negativa :
Passo 6
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
Para :
Passo 7
Resolvendo para , a equação característica é:
A solução geral é:
Passo 8
Aplicando as condições de contorno e :
Para :
Então, .
Para :
Para que isso seja verdadeiro, precisamos que , onde é um número inteiro positivo. Assim,
Passo 9
Agora, resolvemos para com :
A solução geral é:
Passo 10
Aplicando as condições de contorno em :
Para :
Então,
Passo 11
A solução completa para cada modo é:
Passo 12
Para satisfazer a condição de contorno , usamos a expansão em série de Fourier:
Então, os coeficientes são dados por:
Resposta
A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por: