Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) que descreve como a função se comporta no tempo e no espaço. O problema envolve resolver essa EDP com certas condições de contorno e condição inicial usando séries de Fourier generalizadas.
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais parciais, condições de contorno, séries de Fourier.
O que vamos precisar:
Entender como separar variáveis em EDPs.
Conhecer as séries de Fourier e como aplicá-las a problemas de valor de contorno.
Aplicar condições de contorno específicas para determinar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
Isso é uma equação de difusão ou calor, onde é a difusividade térmica.
Objetivo: Encontrar que satisfaça essa EDP junto com as condições de contorno e a condição inicial fornecida.
Passo 3
Vamos aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo isso na equação diferencial:
Onde é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada de em relação a .
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por :
A igualdade resulta em ambos os lados sendo iguais a uma constante negativa . Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com solução geral:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Onde é uma constante que será determinada pela condição inicial.
Passo 7
A solução geral da EDP é então o produto de e :
Para encontrar soluções não triviais, aplicamos as condições de contorno.
Passo 8
Vamos aplicar a condição de contorno :
Isso implica que , já que nunca é zero. Então, a solução simplifica para:
Passo 9
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno:
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Avaliando em :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos exponenciais devem coincidir, e o termo constante deve ser zero:
E
Como e é uma constante dada, a única maneira de satisfazer isso é escolhendo funções que anulam o termo constante, o que nos leva a condições para os valores próprios .
Passo 10
A partir da equação anterior:
Essa equação transcendental não pode ser resolvida analiticamente para , mas nos dá os valores próprios que serão usados na série de Fourier.
Passo 11
Com os valores próprios determinados, a solução geral será uma soma infinita dessas soluções separadas:
Passo 12
Finalmente, aplicamos a condição inicial :
Isso nos permite calcular os coeficientes usando a ortogonalidade das funções seno. Os coeficientes são dados por:
Resposta
A solução do problema de valor de contorno dado, usando séries de Fourier generalizadas, é:
Onde são os valores próprios determinados pela equação e são os coeficientes calculados a partir da condição inicial .