Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) que descreve como a função se comporta no tempo e no espaço. O problema envolve resolver essa EDP com certas condições de contorno e condição inicial usando séries de Fourier generalizadas.
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais parciais, condições de contorno, séries de Fourier.
O que vamos precisar:
Entender como separar variáveis em EDPs.
Conhecer as séries de Fourier e como aplicá-las a problemas de valor de contorno.
Aplicar condições de contorno específicas para determinar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t, 0 < x < 1, t > 0
Isso é uma equação de difusão ou calor, onde é a difusividade térmica.
Objetivo: Encontrar que satisfaça essa EDP junto com as condições de contorno e a condição inicial fornecida.
Passo 3
Vamos aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de k X''(x) T(t) = X(x) T'(t) :
Substituindo isso na equação diferencial:
Onde é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada de em relação a .
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por k X''(x)X(x) = T'(t)T(t) = -lambda :
X''(x) + lambdak X(x) = 0
A igualdade resulta em ambos os lados sendo iguais a uma constante negativa T'(t) + lambda T(t) = 0 . Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver a equação para X''(x) + lambdak X(x) = 0 :
X(x) = A cos(raizlambdak x) + B sin(raizlambdak x)
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com solução geral:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para T'(t) + lambda T(t) = 0 :
T(t) = C e^-lambda t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Onde é uma constante que será determinada pela condição inicial.
Passo 7
A solução geral da EDP é então o produto de u(x, t) = [ A cos(raizlambdak x) + B sin(raizlambdak x) ] e^-lambda t e :
Para encontrar soluções não triviais, aplicamos as condições de contorno.
Passo 8
Vamos aplicar a condição de contorno u(0, t) = [ A cos(0) + B sin(0) ] e^-lambda t = A e^-lambda t = 0 :
u(x, t) = B sin(raizlambdak x) e^-lambda t
Isso implica que , já que nunca é zero. Então, a solução simplifica para:
Passo 9
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno:
partial upartial x|x=1 = h ( u(1, t) - u0 )
Primeiro, calculamos a derivada de partial upartial x = B raizlambdak cos(raizlambdak x) e^-lambda t em relação a B raizlambdak cos(raizlambdak) e^-lambda t = h ( B sin(raizlambdak) e^-lambda t - u0 ) :
B raizlambdak cos(raizlambdak) = h B sin(raizlambdak)
Avaliando em h u0 = 0 :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos exponenciais devem coincidir, e o termo constante deve ser zero:
E
Como e é uma constante dada, a única maneira de satisfazer isso é escolhendo funções que anulam o termo constante, o que nos leva a condições para os valores próprios .
Passo 10
A partir da equação anterior:
raizlambdak cot(raizlambdak) = h
Essa equação transcendental não pode ser resolvida analiticamente para , mas nos dá os valores próprios que serão usados na série de Fourier.
Passo 11
Com os valores próprios u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(raizlambdank x) e^-lambdan t determinados, a solução geral será uma soma infinita dessas soluções separadas: