Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma solução particular da equação
, onde
. Sabemos que a solução da equação homogênea associada é
. A matéria que estamos lidando aqui é com equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares. Vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando
é uma função do tipo polinomial, exponencial, seno, cosseno, ou combinação dessas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a
é um polinômio de segundo grau:
. Quando a função do lado direito da equação diferencial é um polinômio, geralmente tentamos uma solução particular também como um polinômio do mesmo grau. Então, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Aqui,
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos substituir
na equação diferencial
. Mas como não sabemos exatamente qual é
, podemos pensar de forma geral. Sabemos que a solução homogênea é
, o que indica que a equação diferencial provavelmente é de segunda ordem e com coeficientes constantes.
Para seguir com o processo, consideramos que a derivada de
em relação a
será usada na equação diferencial. Calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial. Supondo que a equação diferencial seja da forma:
Substituindo:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Agrupando por potências de
:
-
: -
: - Termo constante:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar
,
e
. Mas, como não temos os valores de
e
, podemos simplificar considerando que a equação diferencial original provavelmente é da forma
(baseado na solução homogênea). Assim, temos
e
.
Substituindo
e
nas equações:
-
⇒ -
⇒ ⇒ -
⇒ ⇒ ⇒
Resposta
Então, a solução particular é: