Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de para dada, se a solução da equação homogênea associada for .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma solução particular da equação , onde . Sabemos que a solução da equação homogênea associada é . A matéria que estamos lidando aqui é com equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares. Vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando é uma função do tipo polinomial, exponencial, seno, cosseno, ou combinação dessas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a é um polinômio de segundo grau: . Quando a função do lado direito da equação diferencial é um polinômio, geralmente tentamos uma solução particular também como um polinômio do mesmo grau. Então, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos substituir na equação diferencial . Mas como não sabemos exatamente qual é , podemos pensar de forma geral. Sabemos que a solução homogênea é , o que indica que a equação diferencial provavelmente é de segunda ordem e com coeficientes constantes.
Para seguir com o processo, consideramos que a derivada de em relação a será usada na equação diferencial. Calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos , e na equação diferencial. Supondo que a equação diferencial seja da forma:
Substituindo:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Agrupando por potências de :
:
:
Termo constante:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e . Mas, como não temos os valores de e , podemos simplificar considerando que a equação diferencial original provavelmente é da forma (baseado na solução homogênea). Assim, temos e .