Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para obter a equação diferencial que está associada à função primitiva dada, que é . Aqui, e são constantes essenciais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa obter a equação diferencial associada a uma primitiva. Basicamente, queremos encontrar uma equação que relacione e suas derivadas, de forma que a solução dessa equação seja exatamente .

Passo 3

Para isso, vamos derivar a função em relação a . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos derivar novamente para obter a segunda derivada:
Observe que a segunda derivada de é igual a , já que .

Passo 5

Agora, podemos substituir a segunda derivada na relação que encontramos:
Essa é a equação diferencial que relaciona e suas derivadas.

Resposta

A equação diferencial associada à primitiva é:

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a)