Use o Teorema de Green para calcular a circulação de ao redor da região triangular com vértices em , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a circulação do campo vetorial ao redor de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre essa região. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação é a integral de linha de ao longo de uma curva fechada. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo. A fórmula do Teorema de Green para circulação é:
Onde e é a região delimitada pela curva .
Passo 3
Vamos identificar e no nosso campo vetorial . Aqui, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para a região triangular . O triângulo tem vértices em , e . Podemos descrever da seguinte maneira:
varia de a
Para cada , varia de a
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos multiplicar os termos:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Então, avaliando de a :
Resposta
A circulação do campo vetorial ao redor do triângulo é .