Use o Teorema de Green para calcular a circulação de ao redor da região triangular com vértices em , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a circulação do campo vetorial ao redor de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre essa região. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação é a integral de linha de ao longo de uma curva fechada. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo. A fórmula do Teorema de Green para circulação é:
Onde e é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial . Aqui, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para a região triangular . O triângulo tem vértices em , e . Podemos descrever da seguinte maneira:
  • varia de a
  • Para cada , varia de a
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos multiplicar os termos:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Então, avaliando de a :

Resposta

A circulação do campo vetorial ao redor do triângulo é .

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com as condições de contorno dadas.
b)
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.