Use o Teorema de Green para calcular a circulação de F(x, y) = (x*y, x+y) ao redor da região triangular com vértices em (0,0),(2,0), e 0,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a circulação do campo vetorial ao redor de um triângulo com vértices em (0,0), 2,0 e 0,2. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre essa região. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação é a integral de linha de ao longo de uma curva fechada. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo. A fórmula do Teorema de Green para circulação é:
Onde e D é a região delimitada pela curva C.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial . Aqui, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para a região triangular D. O triângulo tem vértices em (0,0), 2,0 e 0,2. Podemos descrever D da seguinte maneira:
  • x varia de 0 a
  • Para cada x, y varia de 0 a
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos multiplicar os termos:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Então, avaliando de 0 a :

Resposta

A circulação do campo vetorial ao redor do triângulo é 2/3.

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