Use o Teorema de Green para calcular a circulação do campo
ao redor da região limitada pela parábola
e a linha
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos calcular a circulação desse campo ao redor da região delimitada pela parábola
e pela linha reta
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar uma integral de linha (circulação) em uma integral dupla sobre a área encerrada. Vamos precisar aplicar as derivadas parciais do campo vetorial e configurar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que a circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
dA. A fórmula fica assim:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 3
Identificamos
e
. Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região
. A região é limitada pela parábola
e pela linha reta
. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas:
Então,
varia de
a
. Para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 5
Com os limites definidos, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado obtido em relação a
:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Resposta
A circulação do campo
ao redor da região limitada pela parábola
e pela linha reta
é zero.
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, onde
é o quadrado com vértices em
,
.
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até
.
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, e
.
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b)
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