Use o Teorema de Green para calcular a circulação do campo ao redor da região limitada pela parábola e a linha .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial e queremos calcular a circulação desse campo ao redor da região delimitada pela parábola e pela linha reta . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar uma integral de linha (circulação) em uma integral dupla sobre a área encerrada. Vamos precisar aplicar as derivadas parciais do campo vetorial e configurar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de dA. A fórmula fica assim:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 3

Identificamos e . Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região . A região é limitada pela parábola e pela linha reta . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas:
Então, varia de a . Para cada valor de nesse intervalo, varia de até .

Passo 5

Com os limites definidos, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado obtido em relação a :
Vamos calcular cada termo separadamente:

Resposta

A circulação do campo ao redor da região limitada pela parábola e pela linha reta é zero.

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