Determine a temperatura como função da posição e do tempo de uma barra infinita com uma fonte externa de calor, ou seja, resolva o problema de valor inicial
l partial upartial t=alpha^2 partial^2 upartial x^2+g(x) u(x, 0)=f(x), x in R

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar a temperatura l partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 + g(x) u(x, 0) = f(x), x in R em função da posição e do tempo para uma barra infinita que possui uma fonte externa de calor. O problema está descrito pela equação de calor com uma fonte externa:
Aqui, é a difusividade térmica, representa a fonte externa de calor, e é a condição inicial de temperatura na barra. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar métodos de equações diferenciais parciais, especificamente a transformada de Fourier, que é útil para resolver o problema em uma dimensão espacial infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável espacial u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx dx . A transformada de Fourier de uma função partial upartial t = -alpha^2 k^2 u + g(k) é definida como:
Aplicando a transformada de Fourier na equação de calor, obtemos:
Aqui, é a variável de frequência na transformada de Fourier, e é a transformada de Fourier de .

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de partial upartial t + alpha^2 k^2 u = g(k) :
mu(t) = e^alpha^2 k^2 t
Esta é uma equação linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando um fator integrante. O fator integrante e^alpha^2 k^2 t partial upartial t + alpha^2 k^2 e^alpha^2 k^2 t u = g(k) e^alpha^2 k^2 t é dado por:
partialpartial t ( e^alpha^2 k^2 t u ) = g(k) e^alpha^2 k^2 t
Multiplicando ambos os lados da equação pela :
Isso simplifica para:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação ao tempo e^alpha^2 k^2 t u(k, t) = integral g(k) e^alpha^2 k^2 t dt + C :
u(k, 0) = f(k)
Onde u(k, 0) = C = f(k) é a constante de integração. Considerando a condição inicial , aplicamos a transformada de Fourier:
Portanto, quando :

Passo 5

Substituindo e^alpha^2 k^2 t u(k, t) = integral g(k) e^alpha^2 k^2 t dt + f(k) na equação integrada:
u(k, t) = e^-alpha^2 k^2 t f(k) + e^-alpha^2 k^2 t integral g(k) e^alpha^2 k^2 t dt
Dividindo ambos os lados por u(k, t) = e^-alpha^2 k^2 t f(k) + g(k)alpha^2 k^2 (1 - e^-alpha^2 k^2 t) :
A integral pode ser simplificada para:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Fourier para obter u(x, t) = 12pi integral-infty^infty [ e^-alpha^2 k^2 t f(k) + g(k)alpha^2 k^2 (1 - e^-alpha^2 k^2 t) ] e^ikx dk :
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty e^-alpha^2 k^2 t f(k) e^ikx dk + 12pi integral-infty^infty g(k)alpha^2 k^2 (1 - e^-alpha^2 k^2 t) e^ikx dk
Isso separa-se em duas integrais:
Essas integrais representam a solução geral da equação de calor com uma fonte externa.

Passo 7

Utilizando a propriedade da transformada de Fourier que relaciona convolução no espaço com multiplicação no domínio da frequência, podemos expressar a solução em termos de convolução com o núcleo de calor u(x, t) = integral-infty^infty G(x - xi, t) f(xi) dxi + integral0^t integral-infty^infty G(x - xi, t - tau) g(xi) dxi dtau . Assim, a solução final é:

Resposta

A temperatura na barra infinita em função da posição u(x, t) = integral-infty^infty 1raiz4pi alpha^2 t e^-(x - xi)^24alpha^2 t f(xi) dxi + integral0^t integral-infty^infty 1raiz4pi alpha^2 (t - tau) e^-(x - xi)^24alpha^2 (t - tau) g(xi) dxi dtau e do tempo é dada por:
Esta expressão representa a solução geral para a temperatura na barra infinita com uma fonte externa de calor.

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