Determine a temperatura como função da posição e do tempo de uma barra infinita com uma fonte externa de calor, ou seja, resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar a temperatura
em função da posição
e do tempo
para uma barra infinita que possui uma fonte externa de calor. O problema está descrito pela equação de calor com uma fonte externa:
Aqui,
é a difusividade térmica,
representa a fonte externa de calor, e
é a condição inicial de temperatura na barra. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar métodos de equações diferenciais parciais, especificamente a transformada de Fourier, que é útil para resolver o problema em uma dimensão espacial infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável espacial
. A transformada de Fourier de uma função
é definida como:
Aplicando a transformada de Fourier na equação de calor, obtemos:
Aqui,
é a variável de frequência na transformada de Fourier, e
é a transformada de Fourier de
.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de
:
Esta é uma equação linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando ambos os lados da equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração. Considerando a condição inicial
, aplicamos a transformada de Fourier:
Portanto, quando
:
Passo 5
Substituindo
na equação integrada:
Dividindo ambos os lados por
:
A integral pode ser simplificada para:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Fourier para obter
:
Isso separa-se em duas integrais:
Essas integrais representam a solução geral da equação de calor com uma fonte externa.
Passo 7
Utilizando a propriedade da transformada de Fourier que relaciona convolução no espaço com multiplicação no domínio da frequência, podemos expressar a solução em termos de convolução com o núcleo de calor
. Assim, a solução final é:
Resposta
A temperatura na barra infinita em função da posição
e do tempo
é dada por:
Esta expressão representa a solução geral para a temperatura
na barra infinita com uma fonte externa de calor.