Determine o tempo necessário para se esvaziar completamente um tanque cilíndrico de raio da base e altura , cheio de água, admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio , com velocidade , sendo a altura da água no tanque e a aceleração gravitacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque cilíndrico com raio da base de e altura de , cheio de água. A água vai sair por um orifício na base com raio e velocidade , onde é a altura da água no tanque e . Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o tanque esvaziar completamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a água sai do tanque. A velocidade de saída da água é dada por , que vem da Lei de Torricelli. Essa lei nos diz que a velocidade de um fluido que sai de um orifício é igual à raiz quadrada de , onde é a altura do fluido acima do orifício.
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de fluxo () da água, que é o volume de água que sai por segundo. A taxa de fluxo é dada por:
onde é a área do orifício e é a velocidade da água.
Passo 4
Vamos calcular a área do orifício (). A área de um círculo é:
Com :
Passo 5
Substituindo na equação da taxa de fluxo:
Isso nos dá a taxa de saída de volume da água.
Passo 6
A água no tanque está diminuindo com o tempo. A taxa de variação do volume no tanque é igual a menos a taxa de fluxo:
Sabemos que o volume de um cilindro é , onde é o raio do tanque.
Passo 7
Derivando o volume em relação ao tempo:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Vamos simplificar e separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados de até e de até (tempo total):
Resolvendo as integrais:
Passo 9
Resolvendo para :
Simplificando:
Calculando numericamente:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo necessário para esvaziar completamente o tanque é aproximadamente ou cerca de minutos.