Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
, sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante
seja
. O que acontece com a população se
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um modelo de variação populacional onde a taxa de variação da população no tempo
é proporcional à população naquele instante. A equação diferencial é dada por:
onde
, sendo
a taxa de natalidade e
a taxa de mortalidade. A população inicial no tempo
é
. Queremos descobrir o que acontece com a população quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Se
, então:
Isso simplifica a equação diferencial para:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação
significa que a taxa de variação da população é zero, ou seja, a população não está aumentando nem diminuindo ao longo do tempo.
Para resolver, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
:
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Resposta
Quando
, a população permanece constante ao longo do tempo, ou seja,
.