Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante t seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade lambda = alpha - beta, sendo alpha o coeficiente de natalidade e beta o de mortalidade. Desse modo, a variação da população p = p(t) é regida pela equação diferencial linear d p/d t = lambda p Suponha que a população no instante t = 0 seja p0. O que acontece com a população se α = beta ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um modelo de variação populacional onde a taxa de variação da população no tempo é proporcional à população naquele instante. A equação diferencial é dada por:
onde , sendo a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade. A população inicial no tempo é . Queremos descobrir o que acontece com a população quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Se , então:
Isso simplifica a equação diferencial para:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação significa que a taxa de variação da população é zero, ou seja, a população não está aumentando nem diminuindo ao longo do tempo.
Para resolver, integramos ambos os lados em relação ao tempo :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Determinar a constante usando a condição inicial :
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Resposta

Quando , a população permanece constante ao longo do tempo, ou seja, .

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