Resolva.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial
, onde
é uma constante real. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que essa é uma equação diferencial simples do primeiro grau. Isso significa que podemos resolver integrando ambos os lados em relação a
. A ideia é descobrir qual função, ao derivarmos em relação a
, nos dá
.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
No lado esquerdo, a integral de
simplesmente nos dá
. No lado direito, a integral de
é
.
Passo 4
Então, após a integração, temos:
Onde
é a constante de integração que aparece quando resolvemos uma integral indefinida.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
, sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante
seja
. O que acontece com a população se
?
Determine o tempo necessário para se esvaziar completamente um tanque cilíndrico de raio da base
e altura
, cheio de água, admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio
, com velocidade
, sendo
a altura da água no tanque e
a aceleração gravitacional.
Encontre o Wronskiano do par de funções dado:
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.