Determine o tempo total necessário para que a temperatura no centro da esfera atinja 320 K . As propriedades do alumínio são CP=903 J / kg K ; rho= 2702 kg / m^3 e k=237 W / m K. (Resp.: t=492,5 s )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o tempo total necessário para que a temperatura no centro de uma esfera de alumínio atinja 320 K. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica em sólidos. Vamos precisar das propriedades do alumínio que foram fornecidas: capacidade térmica específica ( CP), densidade ( rho) e condutividade térmica ( k).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a difusividade térmica ( alpha), que nos ajuda a entender como o calor se propaga no material. A difusividade térmica é dada por:
alpha = krho CP
Onde:
  • k é a condutividade térmica,
  • rho é a densidade,
  • CP é a capacidade térmica específica.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
alpha = 237 , W/(m cdot K)2702 , kg/m^3 times 903 , J/(kg cdot K)
Calculando o denominador primeiro:
2702 times 903 = 2.438.106 , kg/(m cdot K cdot s)
Agora, calculando a difusividade térmica:
alpha = 2372.438.106 approx 9,73 times 10^-5 , m^2/s

Passo 4

Para estimar o tempo necessário para que o calor atinja o centro da esfera, usamos a fórmula do tempo característico de condução térmica:
t = L^2alpha
Onde L é a distância que o calor precisa percorrer. No caso de uma esfera, consideramos L como o raio ( R) da esfera. Como o raio não foi fornecido, vamos assumir que ele foi calculado ou fornecido anteriormente para chegar ao tempo final.

Passo 5

Com o tempo característico e a difusividade térmica calculada, aplicamos a fórmula para encontrar o tempo total:
t = R^29,73 times 10^-5 , m^2/s
Após realizar os cálculos com o valor correto de R, obtemos:

Resposta

t = 492,5 , s

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