Determine a tensão
de um circuito descrito pela seguintes equação integral-diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a tensão
de um circuito que é descrito por uma equação integral-diferencial. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e integração. Para resolver, vamos precisar transformar essa equação em uma equação diferencial comum, aplicar métodos de resolução de equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
Aqui temos uma mistura de derivada e integral de
. Para simplificar, podemos eliminar a integral diferenciando ambos os lados da equação em relação ao tempo
.
Passo 3
Ao diferenciarmos ambos os lados, lembramos que a derivada da integral de
é apenas
. Vamos aplicar isso:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) com uma solução particular da equação completa.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Isso nos dá uma solução homogênea do tipo:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é uma função cosseno, suponhamos uma solução particular da forma:
Vamos derivar
e substituir na equação diferencial para encontrar os coeficientes
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando mais:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos de
e
:
Para
:
Para
:
Temos um sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Multiplicando tudo por 8 para eliminar o denominador:
Então,
Passo 10
Agora temos os valores de
e
. A solução particular é:
Passo 11
Juntando a solução homogênea
com a particular
, a solução geral é:
Resposta
A tensão no circuito é dada por:
Exercícios relacionados
Determine as senoides representadas pelos seguintes fasores:
Determine as senoides representadas pelos seguintes fasores:
Se a tensão
for aplicada a um capacitor de
, calcule a corrente através do capacitor.
Determine o ângulo de fase entre os dois sinais por duas formas distintas;