Determine a tensão v(t) de um circuito descrito pela seguintes equação integral-diferencial:
2 cdot d v(t)d t+5 cdot v(t)+10 integral v(t) cdot d t=20 cos (5 cdot t-30^circ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a tensão de um circuito que é descrito por uma equação integral-diferencial. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e integração. Para resolver, vamos precisar transformar essa equação em uma equação diferencial comum, aplicar métodos de resolução de equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
2 cdot dv(t)dt + 5 cdot v(t) + 10 integral v(t) , dt = 20 cos(5t - 30°)
Aqui temos uma mistura de derivada e integral de . Para simplificar, podemos eliminar a integral diferenciando ambos os lados da equação em relação ao tempo .

Passo 3

Ao diferenciarmos ambos os lados, lembramos que a derivada da integral de ddt [2 cdot dv(t)dt] + ddt [5 cdot v(t)] + ddt [10 integral v(t) , dt] = ddt [20 cos(5t - 30°)] é apenas 2 cdot d^2v(t)dt^2 + 5 cdot dv(t)dt + 10 cdot v(t) = -100 sin(5t - 30°) . Vamos aplicar isso:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
2 cdot d^2v(t)dt^2 + 5 cdot dv(t)dt + 10 cdot v(t) = -100 sin(5t - 30°)
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) com uma solução particular da equação completa.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
2 cdot d^2v(t)dt^2 + 5 cdot dv(t)dt + 10 cdot v(t) = 0
A equação característica associada é:
2r^2 + 5r + 10 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
r = -5 pm raiz25 - 804 = -5 pm jraiz554
Isso nos dá uma solução homogênea do tipo:
vh(t) = e^-54t ( C1 cos(raiz554t) + C2 sin(raiz554t) )

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular vp(t) = A cos(5t - 30°) + B sin(5t - 30°) para a equação completa. Como o lado direito é uma função cosseno, suponhamos uma solução particular da forma:
Vamos derivar e substituir na equação diferencial para encontrar os coeficientes e .

Passo 7

Calculando as derivadas:
dvp(t)dt = -5A sin(5t - 30°) + 5B cos(5t - 30°)
d^2vp(t)dt^2 = -25A cos(5t - 30°) - 25B sin(5t - 30°)
Substituindo 2(-25A cos(5t - 30°) - 25B sin(5t - 30°)) + 5(-5A sin(5t - 30°) + 5B cos(5t - 30°)) + 10(A cos(5t - 30°) + B sin(5t - 30°)) = -100 sin(5t - 30°) e suas derivadas na equação diferencial:
(-50A cos(5t - 30°) - 50B sin(5t - 30°)) + (-25A sin(5t - 30°) + 25B cos(5t - 30°)) + (10A cos(5t - 30°) + 10B sin(5t - 30°)) = -100 sin(5t - 30°)
Simplificando os termos:
(-50A + 25B + 10A) cos(5t - 30°) + (-50B -25A + 10B) sin(5t - 30°) = -100 sin(5t - 30°)
Agrupando os termos de (-40A + 25B) cos(5t - 30°) + (-40B -25A) sin(5t - 30°) = -100 sin(5t - 30°) e :
Simplificando mais:

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos de -40A + 25B = 0 e -40B -25A = -100 :
Para -40A + 25B = 0 -25A -40B = -100 :
Para :
Temos um sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações. Da primeira equação:
-40A + 25B = 0 Rightarrow 40A = 25B Rightarrow A = 2540B = 58B
Substituindo -25(58B) -40B = -100 Rightarrow -1258B -40B = -100 na segunda equação:
-125B -320B = -800 Rightarrow -445B = -800 Rightarrow B = 800445 = 16089
Multiplicando tudo por 8 para eliminar o denominador:
A = 58 cdot 16089 = 800712 = 10089
Então,

Passo 10

Agora temos os valores de vp(t) = 10089 cos(5t - 30°) + 16089 sin(5t - 30°) e . A solução particular é:

Passo 11

Juntando a solução homogênea v(t) = e^-54t ( C1 cos(raiz554t) + C2 sin(raiz554t) ) + 10089 cos(5t - 30°) + 16089 sin(5t - 30°) com a particular , a solução geral é:

Resposta

A tensão no circuito é dada por:
v(t) = e^-54t ( C1 cos(raiz554t) + C2 sin(raiz554t) ) + 10089 cos(5t - 30°) + 16089 sin(5t - 30°)

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