Determine a tensão de um circuito descrito pela seguintes equação integral-diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a tensão de um circuito que é descrito por uma equação integral-diferencial. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e integração. Para resolver, vamos precisar transformar essa equação em uma equação diferencial comum, aplicar métodos de resolução de equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
Aqui temos uma mistura de derivada e integral de . Para simplificar, podemos eliminar a integral diferenciando ambos os lados da equação em relação ao tempo .

Passo 3

Ao diferenciarmos ambos os lados, lembramos que a derivada da integral de é apenas . Vamos aplicar isso:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) com uma solução particular da equação completa.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Isso nos dá uma solução homogênea do tipo:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma função cosseno, suponhamos uma solução particular da forma:
Vamos derivar e substituir na equação diferencial para encontrar os coeficientes e .

Passo 7

Calculando as derivadas:
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de e :
Simplificando mais:

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos de e :
Para :
Para :
Temos um sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando tudo por 8 para eliminar o denominador:
Então,

Passo 10

Agora temos os valores de e . A solução particular é:

Passo 11

Juntando a solução homogênea com a particular , a solução geral é:

Resposta

A tensão no circuito é dada por:

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