Se a tensão v(t)=6 cdot cos (100 cdot t-30^circ) for aplicada a um capacitor de 50 mu F, calcule a corrente através do capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma tensão, dada por , está aplicada a um capacitor de . Nosso objetivo aqui é calcular a corrente que passa por esse capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como tensões e correntes se comportam em capacitores, especialmente em circuitos de corrente alternada (AC).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um capacitor, a corrente i(t) = C cdot dv(t)dt está relacionada à taxa de variação da tensão . A relação fundamental entre corrente e tensão em um capacitor é dada pela fórmula:
Aqui, é a capacitância do capacitor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Temos e .
Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dv(t)dt = ddt [ 6 cdot cos (100 cdot t - 30^circ) ] :
dv(t)dt = -6 cdot 100 cdot sin (100 cdot t - 30^circ) = -600 cdot sin (100 cdot t - 30^circ)
Usando a regra da derivada da função cosseno, onde a derivada de é :

Passo 5

Agora, vamos usar a relação entre corrente e derivada da tensão:
i(t) = C cdot dv(t)dt = 50 times 10^-6 , F cdot ( -600 cdot sin (100 cdot t - 30^circ) )

Passo 6

Multiplicando os valores:
i(t) = -600 times 50 times 10^-6 cdot sin (100 cdot t - 30^circ) = -0,03 cdot sin (100 cdot t - 30^circ) , A

Passo 7

Podemos simplificar o sinal negativo movendo-o para dentro do seno, lembrando que i(t) = 0,03 cdot sin (100 cdot t - 30^circ + 180^circ) = 0,03 cdot sin (100 cdot t + 150^circ) , A . Assim:

Resposta

A corrente através do capacitor é dada por:
i(t) = 0,03 cdot sin (100 cdot t + 150^circ) , A

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