Determine o tensor de inércia I, relativamente à base canônica do R^3 dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: a m unidades, posicionadas nos pontos (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o tensor de inércia I em relação à base canônica de R^3 para um corpo rígido formado por quatro partículas. Cada partícula tem massa m e está posicionada nos pontos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). O conteúdo que vamos usar aqui é o de tensor de inércia para partículas puntiformes. Precisamos lembrar da fórmula que relaciona a posição das partículas com o tensor de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do tensor de inércia para uma partícula de massa m localizada em (x, y, z). O tensor de inércia I é dado por:
I = m y^2 + z^2 & -xy & -xz -xy & x^2 + z^2 & -yz -xz & -yz & x^2 + y^2
Essa fórmula basicamente considera como a massa está distribuída em relação aos eixos coordenados. Agora, vamos calcular o tensor de inércia para cada uma das quatro partículas e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos calcular I para cada partícula:
  1. Partícula em (0,0,0):
    • Como x = y = z = 0, o tensor de inércia é:

      $$
      \mathbb{I}_1 = m
      I1 = m 0 + 0 & 0 & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & 0 & 0 + 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

      (1,0,0)
      $$
  2. Partícula em x = 1:
    • y = 0, z = 0, I2 = m 0 + 0 & -1 cdot 0 & -1 cdot 0 -0 cdot 1 & 1 + 0 & -0 cdot 0 -0 cdot 1 & -0 cdot 0 & 1 + 0 = m 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 .

      $$
      \mathbb{I}_2 = m
      (0,1,0)

      m
      x = 0
      $$
  3. Partícula em y = 1:
    • z = 0, I3 = m 1 + 0 & -0 cdot 1 & -0 cdot 0 -1 cdot 0 & 0 + 0 & -1 cdot 0 -0 cdot 0 & -0 cdot 1 & 0 + 1 = m 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , (0,0,1).

      $$
      \mathbb{I}_3 = m
      x = 0

      m
      y = 0
      $$
  4. Partícula em z = 1:
    • I4 = m 0 + 1 & -0 cdot 0 & -0 cdot 1 -0 cdot 0 & 0 + 1 & -0 cdot 1 -1 cdot 0 & -1 cdot 0 & 0 + 0 = m 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , , .

      $$
      \mathbb{I}_4 = m

      m
      $$

Resposta

Agora, somando os tensores de inércia de todas as partículas:

$$
\mathbb{I} = \mathbb{I}_1 + \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_3 + \mathbb{I}_4 =
m
I = I1 + I2 + I3 + I4 = m 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 + m 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + m 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 + m 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 = m 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 = 2m 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
+
m
I
+
m
I = 2m 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
+
m

m

2m
$$
Então, o tensor de inércia é:

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