Determine o tensor de inércia , relativamente à base canônica do dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: a unidades, posicionadas nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o tensor de inércia em relação à base canônica de para um corpo rígido formado por quatro partículas. Cada partícula tem massa e está posicionada nos pontos , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de tensor de inércia para partículas puntiformes. Precisamos lembrar da fórmula que relaciona a posição das partículas com o tensor de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do tensor de inércia para uma partícula de massa localizada em . O tensor de inércia é dado por:
Essa fórmula basicamente considera como a massa está distribuída em relação aos eixos coordenados. Agora, vamos calcular o tensor de inércia para cada uma das quatro partículas e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos calcular para cada partícula:
  1. Partícula em :
    • Como , o tensor de inércia é:

      $$
      \mathbb{I}_1 = m

      $$
  2. Partícula em :
    • , , .

      $$
      \mathbb{I}_2 = m

      m
      $$
  3. Partícula em :
    • , , .

      $$
      \mathbb{I}_3 = m

      m
      $$
  4. Partícula em :
    • , , .

      $$
      \mathbb{I}_4 = m

      m
      $$

Resposta

Agora, somando os tensores de inércia de todas as partículas:

$$
\mathbb{I} = \mathbb{I}_1 + \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_3 + \mathbb{I}_4 =
m

+
m

+
m

+
m

m

2m
$$
Então, o tensor de inércia é:

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