Determine o tensor de inércia , relativamente à base canônica do dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: a unidades, posicionadas nos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o tensor de inércia em relação à base canônica de para um corpo rígido formado por quatro partículas. Cada partícula tem massa e está posicionada nos pontos , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de tensor de inércia para partículas puntiformes. Precisamos lembrar da fórmula que relaciona a posição das partículas com o tensor de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do tensor de inércia para uma partícula de massa localizada em . O tensor de inércia é dado por:
Essa fórmula basicamente considera como a massa está distribuída em relação aos eixos coordenados. Agora, vamos calcular o tensor de inércia para cada uma das quatro partículas e depois somar tudo.
Passo 3
Vamos calcular para cada partícula:
Partícula em :
Como , o tensor de inércia é:
$$
\mathbb{I}_1 = m
$$
Partícula em :
, , .
$$
\mathbb{I}_2 = m
m
$$
Partícula em :
, , .
$$
\mathbb{I}_3 = m
m
$$
Partícula em :
, , .
$$
\mathbb{I}_4 = m
m
$$
Resposta
Agora, somando os tensores de inércia de todas as partículas:
$$
\mathbb{I} = \mathbb{I}_1 + \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_3 + \mathbb{I}_4 =
m
+
m
+
m
+
m