Determine o tensor de inércia , relativamente à base canônica do dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: e 4 unidades, posicionadas nos pontos e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o tensor de inércia. A questão pede para a gente calcular o tensor de inércia para um conjunto de quatro partículas com massas 1, 2, 3 e 4 unidades, localizadas nos pontos , , e . Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica relacionados à rotação de corpos rígidos e as fórmulas do tensor de inércia para pontos de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para partículas pontuais, cada elemento do tensor de inércia pode ser calculado usando as coordenadas das partículas e suas massas.

Passo 3

Vamos definir os nós para as partículas:
  • Partícula 1: massa unidade, posição
  • Partícula 2: massa unidades, posição
  • Partícula 3: massa unidades, posição
  • Partícula 4: massa unidades, posição

Passo 4

O tensor de inércia em coordenadas cartesianas é dado por:
onde:

Passo 5

Vamos calcular cada termo individualmente:
Para :
Substituindo os valores:
Para :
Substituindo:
Para :
Substituindo:
Para :
Substituindo:
Para :
Como todas as partículas têm :
Para :
Também, todas as partículas têm :

Resposta

Assim, o tensor de inércia é:

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