Determine o tensor de inércia I, relativamente à base canônica do R^3 dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: 1,2,3 e 4 unidades, posicionadas nos pontos (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o tensor de inércia. A questão pede para a gente calcular o tensor de inércia para um conjunto de quatro partículas com massas 1, 2, 3 e 4 unidades, localizadas nos pontos , , e . Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica relacionados à rotação de corpos rígidos e as fórmulas do tensor de inércia para pontos de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para partículas pontuais, cada elemento do tensor de inércia pode ser calculado usando as coordenadas das partículas e suas massas.

Passo 3

Vamos definir os nós para as partículas:
  • Partícula 1: massa unidade, posição
  • Partícula 2: massa unidades, posição
  • Partícula 3: massa unidades, posição
  • Partícula 4: massa unidades, posição

Passo 4

O tensor de inércia I = Ixx & -Ixy & -Ixz -Ixy & Iyy & -Iyz -Ixz & -Iyz & Izz em coordenadas cartesianas é dado por:
Ixx = sum mi (yi^2 + zi^2)
onde:
Iyy = sum mi (xi^2 + zi^2)
Izz = sum mi (xi^2 + yi^2)
Ixy = sum mi xi yi
Ixz = sum mi xi zi
Iyz = sum mi yi zi

Passo 5

Vamos calcular cada termo individualmente:
Para Ixx = m1(y1^2 + z1^2) + m2(y2^2 + z2^2) + m3(y3^2 + z3^2) + m4(y4^2 + z4^2) :
Ixx = 1(0^2 + 0^2) + 2(0^2 + 0^2) + 3(1^2 + 0^2) + 4(1^2 + 0^2) = 0 + 0 + 3 + 4 = 7
Substituindo os valores:
Iyy = m1(x1^2 + z1^2) + m2(x2^2 + z2^2) + m3(x3^2 + z3^2) + m4(x4^2 + z4^2)
Para Iyy = 1(0^2 + 0^2) + 2(1^2 + 0^2) + 3(0^2 + 0^2) + 4(1^2 + 0^2) = 0 + 2 + 0 + 4 = 6 :
Izz = m1(x1^2 + y1^2) + m2(x2^2 + y2^2) + m3(x3^2 + y3^2) + m4(x4^2 + y4^2)
Substituindo:
Izz = 1(0^2 + 0^2) + 2(1^2 + 0^2) + 3(0^2 + 1^2) + 4(1^2 + 1^2) = 0 + 2 + 3 + 8 = 13
Para Ixy = m1 x1 y1 + m2 x2 y2 + m3 x3 y3 + m4 x4 y4 :
Ixy = 1(0 cdot 0) + 2(1 cdot 0) + 3(0 cdot 1) + 4(1 cdot 1) = 0 + 0 + 0 + 4 = 4
Substituindo:
Ixz = m1 x1 z1 + m2 x2 z2 + m3 x3 z3 + m4 x4 z4
Para Ixz = 0 :
Iyz = m1 y1 z1 + m2 y2 z2 + m3 y3 z3 + m4 y4 z4
Substituindo:
Iyz = 0
Para :
Como todas as partículas têm :
Para :
Também, todas as partículas têm :

Resposta

Assim, o tensor de inércia I = 7 & -4 & 0 -4 & 6 & 0 0 & 0 & 13 é:

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