Use © e as igualdades e , para mostrar que a energia cinética deste corpo rígido é igual a

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Oi! Vamos resolver um exercício sobre energia cinética de um corpo rígido. O enunciado nos pede para usar duas igualdades envolvendo vetores de velocidade angular e momento angular, representados por:
Nossa tarefa é mostrar que a energia cinética desse corpo rígido é dada por:
Conteúdos que vamos precisar:
  • Conceito de energia cinética para corpos rígidos.
  • Relação entre velocidade angular, momento angular e tensor de inércia.
  • Transformações de coordenadas usando matrizes de rotação.

Passo 2

Entendendo a Energia Cinética de um Corpo Rígido
A energia cinética de um corpo rígido em rotação é dada por:
Aqui:
  • é o vetor velocidade angular.
  • é o tensor de inércia.
  • O símbolo indica a transposição do vetor, transformando-o em uma matriz linha para multiplicação.

Passo 3

Aplicando a Igualdade
Segundo o enunciado, temos que a velocidade angular está relacionada a por uma matriz de rotação :
Vamos substituir na expressão da energia cinética:

Passo 4

Simplificando a Expressão da Energia Cinética
Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Passo 5

Utilizando a Igualdade e a Relação com o Tensor de Inércia
Sabemos que o momento angular está relacionado ao tensor de inércia e à velocidade angular por:
Substituindo :
Do enunciado, também temos . Igualando as duas expressões para :
Multiplicando ambos os lados por (já que é uma matriz de rotação, ):
Isso implica que:
Onde é o tensor de inércia na nova coordenada.

Passo 6

Finalizando a Demonstração da Energia Cinética
Voltando à expressão da energia cinética:
Se considerarmos que no novo referencial (ou seja, diagonaliza o tensor de inércia), então:

Resposta

A energia cinética do corpo rígido é igual a:

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Determine o tensor de inércia , relativamente à base canônica do dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: e 4 unidades, posicionadas nos pontos e