Use © e as igualdades
e
, para mostrar que a energia cinética deste corpo rígido é igual a
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Oi! Vamos resolver um exercício sobre energia cinética de um corpo rígido. O enunciado nos pede para usar duas igualdades envolvendo vetores de velocidade angular e momento angular, representados por:
Nossa tarefa é mostrar que a energia cinética
desse corpo rígido é dada por:
Conteúdos que vamos precisar:
- Conceito de energia cinética para corpos rígidos.
- Relação entre velocidade angular, momento angular e tensor de inércia.
- Transformações de coordenadas usando matrizes de rotação.
Passo 2
Entendendo a Energia Cinética de um Corpo Rígido
A energia cinética
de um corpo rígido em rotação é dada por:
Aqui:
-
é o vetor velocidade angular. -
é o tensor de inércia. - O símbolo
indica a transposição do vetor, transformando-o em uma matriz linha para multiplicação.
Passo 3
Aplicando a Igualdade
Segundo o enunciado, temos que a velocidade angular
está relacionada a
por uma matriz de rotação
:
Vamos substituir
na expressão da energia cinética:
Passo 4
Simplificando a Expressão da Energia Cinética
Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Utilizando a Igualdade
e a Relação com o Tensor de Inércia
Sabemos que o momento angular
está relacionado ao tensor de inércia e à velocidade angular por:
Substituindo
:
Do enunciado, também temos
. Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por
(já que
é uma matriz de rotação,
):
Isso implica que:
Onde
é o tensor de inércia na nova coordenada.
Passo 6
Finalizando a Demonstração da Energia Cinética
Voltando à expressão da energia cinética:
Se considerarmos que
no novo referencial (ou seja,
diagonaliza o tensor de inércia), então:
Resposta
A energia cinética do corpo rígido é igual a:
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Mostre que
, para todo
.
Um investidor aplicou a quantia de
em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 12 meses, esse investidor verificou que o montante era de R$6500,00. Qual é a taxa de juros desse fundo de investimento?
A) ao mès.
B) ao mès.
C) ao mês.
D) ao mes.
A)
B)
C)
D)
Determine o tensor de inércia
, relativamente à base canônica do
dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a: a
unidades, posicionadas nos pontos
e
.
Determine o tensor de inércia
, relativamente à base canônica do
dos corpos rígidos formados por quatro partículas de massas iguais a:
e 4 unidades, posicionadas nos pontos
e