Mostre que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a derivada de em relação ao tempo, denotada por , é igual ao produto vetorial entre o vetor velocidade angular e , ou seja, , para todo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e propriedades de produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa. é o vetor posição de um ponto no corpo que está girando. A derivada representa a velocidade desse ponto. é o vetor velocidade angular, que indica quão rápido e em que direção o corpo está girando.

Passo 3

Em movimentos rotacionais, a velocidade de um ponto no corpo pode ser descrita pela relação entre a velocidade angular e a posição desse ponto. Essa relação é dada pelo produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, o que faz sentido aqui, já que a velocidade é perpendicular à posição em movimentos circulares.

Passo 4

Vamos então calcular para ver se isso realmente corresponde à derivada da posição . Sabemos que o produto vetorial entre e pode ser calculado usando a regra do determinante:
Calculando esse determinante, obtemos a velocidade .

Passo 5

Portanto, ao calcular o produto vetorial , obtemos a expressão da velocidade , o que confirma que .

Resposta

Assim, demonstramos que para todo .

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