Determine o termo geral da sequência
e calcule seu limite
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência que começa com 0,3; depois 0,33; depois 0,333; e assim por diante. A missão aqui é descobrir qual é a fórmula que gera qualquer termo dessa sequência (chamamos isso de termo geral) e também descobrir qual é o valor que essa sequência está se aproximando quando continuamos adicionando mais e mais termos (isso é o limite). Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões e séries decimais, além de entender como encontrar limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observando os termos: 0,3; 0,33; 0,333; etc., percebemos que cada termo adiciona mais um 3 depois da vírgula. Ou seja, o primeiro termo tem um dígito 3, o segundo tem dois dígitos 3, o terceiro tem três dígitos 3, e assim por diante.
Passo 3
Para encontrar o termo geral, precisamos expressar isso de forma matemática. Cada termo pode ser visto como a soma de 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … até n termos. Em termos matemáticos, isso pode ser representado como uma série geométrica onde cada termo seguinte é uma fração menor por um fator de 10.
Passo 4
A fórmula para a soma dos primeiros n termos de uma s��rie geométrica é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Então, o termo geral
da sequência é:
Passo 6
Agora, para encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, observamos que:
Portanto:
Resposta
O termo geral da sequência é
e o limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(j)
(j)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(g)
(g)
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
©
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Investindo
, 00 a uma taxa de juros de
, capitalizados anualmente, depois de
anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de .
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de