Determine o termo geral da sequência e calcule seu limite

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência que começa com 0,3; depois 0,33; depois 0,333; e assim por diante. A missão aqui é descobrir qual é a fórmula que gera qualquer termo dessa sequência (chamamos isso de termo geral) e também descobrir qual é o valor que essa sequência está se aproximando quando continuamos adicionando mais e mais termos (isso é o limite). Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões e séries decimais, além de entender como encontrar limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observando os termos: 0,3; 0,33; 0,333; etc., percebemos que cada termo adiciona mais um 3 depois da vírgula. Ou seja, o primeiro termo tem um dígito 3, o segundo tem dois dígitos 3, o terceiro tem três dígitos 3, e assim por diante.

Passo 3

Para encontrar o termo geral, precisamos expressar isso de forma matemática. Cada termo pode ser visto como a soma de 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … até n termos. Em termos matemáticos, isso pode ser representado como uma série geométrica onde cada termo seguinte é uma fração menor por um fator de 10.

Passo 4

A fórmula para a soma dos primeiros n termos de uma s��rie geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão comum. No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Então, o termo geral da sequência é:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito, observamos que:
Portanto:

Resposta

O termo geral da sequência é e o limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(j)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(g)
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
©
Investindo , 00 a uma taxa de juros de , capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de .