Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
© lim (nn^2+1+nn^2+2+cdots+nn^2+n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da soma:
limn to infty (nn^2+1 + nn^2+2 + cdots + nn^2+n)
Isso envolve sequências e limites, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) para resolver. Para isso, precisamos encontrar duas sequências que “apertem” a nossa sequência original e tenham o mesmo limite.

Passo 2

Vamos começar simplificando cada termo da soma. Observe que:
nn^2+k
onde nn^2 + k = 1n + kn varia de 1 a n^2 + 1 <= n^2 + k <= n^2 + n . Podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar, vamos notar que para todos os entre 1 e :

Passo 3

Agora, vamos inverter essas desigualdades (lembre-se que, ao inverter, a direção da desigualdade muda):
1n^2 + n <= 1n^2 + k <= 1n^2 + 1
Multiplicando todos os lados por nn^2 + n <= nn^2 + k <= nn^2 + 1 (que é positivo):

Passo 4

Agora, vamos somar todos esses termos de sumk=1^n nn^2 + n <= sumk=1^n nn^2 + k <= sumk=1^n nn^2 + 1 a n cdot nn^2 + n <= sumk=1^n nn^2 + k <= n cdot nn^2 + 1 . Isso dá:
n^2n^2 + n <= sumk=1^n nn^2 + k <= n^2n^2 + 1
Simplificando as somas:
Ou seja:

Passo 5

Vamos agora calcular os limites das duas expressões que “apertam” a nossa soma original.
Para a esquerda:
limn to infty n^2n^2 + n = limn to infty 11 + 1n = 1
Para a direita:
limn to infty n^2n^2 + 1 = limn to infty 11 + 1n^2 = 1

Passo 6

Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Como ambas as extremidades convergem para 1, nossa soma também converge para 1.

Resposta

limn to infty (nn^2+1 + nn^2+2 + cdots + nn^2+n) = 1

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