Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da soma:
Isso envolve sequências e limites, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) para resolver. Para isso, precisamos encontrar duas sequências que “apertem” a nossa sequência original e tenham o mesmo limite.
Passo 2
Vamos começar simplificando cada termo da soma. Observe que:
onde
varia de 1 a
. Podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar, vamos notar que para todos os
entre 1 e
:
Passo 3
Agora, vamos inverter essas desigualdades (lembre-se que, ao inverter, a direção da desigualdade muda):
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo):
Passo 4
Agora, vamos somar todos esses termos de
a
. Isso dá:
Simplificando as somas:
Ou seja:
Passo 5
Vamos agora calcular os limites das duas expressões que “apertam” a nossa soma original.
Para a esquerda:
Para a direita:
Passo 6
Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Como ambas as extremidades convergem para 1, nossa soma também converge para 1.
Resposta
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Determine o termo geral da sequência
e calcule seu limite
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(j)
(j)
Investindo
, 00 a uma taxa de juros de
, capitalizados anualmente, depois de
anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de .
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
(b)
(b)