Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da soma:
Isso envolve sequências e limites, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) para resolver. Para isso, precisamos encontrar duas sequências que “apertem” a nossa sequência original e tenham o mesmo limite.
Passo 2
Vamos começar simplificando cada termo da soma. Observe que:
onde
varia de 1 a
. Podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar, vamos notar que para todos os
entre 1 e
:
Passo 3
Agora, vamos inverter essas desigualdades (lembre-se que, ao inverter, a direção da desigualdade muda):
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo):
Passo 4
Agora, vamos somar todos esses termos de
a
. Isso dá:
Simplificando as somas:
Ou seja:
Passo 5
Vamos agora calcular os limites das duas expressões que “apertam” a nossa soma original.
Para a esquerda:
Para a direita:
Passo 6
Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Como ambas as extremidades convergem para 1, nossa soma também converge para 1.