Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da soma:
Isso envolve sequências e limites, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) para resolver. Para isso, precisamos encontrar duas sequências que “apertem” a nossa sequência original e tenham o mesmo limite.

Passo 2

Vamos começar simplificando cada termo da soma. Observe que:
onde varia de 1 a . Podemos reescrever isso como:
Mas para facilitar, vamos notar que para todos os entre 1 e :

Passo 3

Agora, vamos inverter essas desigualdades (lembre-se que, ao inverter, a direção da desigualdade muda):
Multiplicando todos os lados por (que é positivo):

Passo 4

Agora, vamos somar todos esses termos de a . Isso dá:
Simplificando as somas:
Ou seja:

Passo 5

Vamos agora calcular os limites das duas expressões que “apertam” a nossa soma original.
Para a esquerda:
Para a direita:

Passo 6

Segundo o Teorema do Confronto, se uma sequência está “presa” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Como ambas as extremidades convergem para 1, nossa soma também converge para 1.

Resposta

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Determine o termo geral da sequência e calcule seu limite
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(j)
Investindo , 00 a uma taxa de juros de , capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de .
Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(b)