Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da sequência
. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e propriedades de potências e raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco de álgebra para simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a análise. Podemos fatorar
de dentro da raiz:
Passo 3
Agora, usando a propriedade das raízes que diz
, podemos separar os termos:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro,
pode ser reescrito como
. Sabemos que
tende a 1 quando
tende ao infinito, então
.
Passo 5
Agora, analisamos a segunda parte:
. Podemos usar o fato de que
, mas aqui temos a raiz
-ésima, que é equivalente a elevar à potência
. Portanto:
Resposta
Portanto, o limite é
.
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(e)
(e)
Seja
uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(d) Prove que
.
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(j)
(j)
Determine o termo geral da sequência
e calcule seu limite