Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(g) lim raiz[n]n^2+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da sequência limn to infty raiz[n]n^2 + n. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e propriedades de potências e raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco de álgebra para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a análise. Podemos fatorar n^2 de dentro da raiz:
raiz[n]n^2 + n = raiz[n]n^2(1 + 1n)

Passo 3

Agora, usando a propriedade das raízes que diz raiz[n]a cdot b = raiz[n]a cdot raiz[n]b, podemos separar os termos:
raiz[n]n^2(1 + 1n) = raiz[n]n^2 cdot raiz[n]1 + 1n

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, raiz[n]n^2 pode ser reescrito como (n^2)^1/n = n^2/n = n^2/n. Sabemos que n^1/n tende a 1 quando n tende ao infinito, então n^2/n = (n^1/n)^2 to 1^2 = 1.

Passo 5

Agora, analisamos a segunda parte: raiz[n]1 + 1n. Podemos usar o fato de que limn to infty (1 + an)^n = e^a, mas aqui temos a raiz n-ésima, que é equivalente a elevar à potência 1/n. Portanto:
limn to infty raiz[n]1 + 1n = limn to infty (1 + 1n)^1/n = 1

Resposta

Portanto, o limite é 1 cdot 1 = 1.

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