Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(b) lim (1n^2+1(n+1)^2+cdots+1(n+n)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). O enunciado pede para calcular o limite da soma . Para isso, vamos precisar entender como essa soma se comporta quando cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observe que temos termos na soma, começando de até .

Passo 3

Agora, vamos encontrar limites inferiores e superiores para cada termo dessa soma. Sabemos que para todo 1(2n)^2 <= 1(n+k)^2 <= 1n^2 de a :
Isso porque varia de a , então varia de a .

Passo 4

Vamos somar todas as desigualdades acima:
(n+1) cdot 1(2n)^2 <= sumk=0^n 1(n+k)^2 <= (n+1) cdot 1n^2
Simplificando:
n+14n^2 <= sumk=0^n 1(n+k)^2 <= n+1n^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite das duas extremidades quando limn to infty n+14n^2 = limn to infty 14n (1 + 1n) = 0 tende ao infinito:
limn to infty n+1n^2 = limn to infty 1n (1 + 1n) = 0
Como os limites das duas extremidades são iguais a zero, pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa soma também é zero.

Resposta

lim (1n^2+1(n+1)^2+cdots+1(n+n)^2) = 0

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