Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas. (2 * raiz(x * y) - y) * dx - x * dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea:
Aqui, “homogênea” significa que a equação tem termos que podem ser relacionados por uma substituição que simplifica a resolução. Para resolver esse tipo de EDO, geralmente usamos uma substituição que transforma a equação em uma forma mais fácil de integrar. Vamos precisar usar essa substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a substituição. Dividindo todos os termos por , temos:
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição que simplifique a relação entre x e y. Uma boa escolha aqui é definir . Isso significa que , e quando derivamos ambos os lados em relação a x, obtemos:

Passo 3

Agora, vamos substituir y e na equação original usando :
Simplificando a raiz:
Podemos dividir todos os termos por x (assumindo x != 0):
Rearranjando para isolar :
Então,
Agora, vamos separar as variáveis v e x:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração à esquerda:
Podemos fatorar o 2 no denominador:
Simplificando a integral:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então e . Substituindo:
Simplificando:
A integral de é , então:
Substituindo de volta:
Removendo o sinal negativo e reescrevendo a constante:
Exponentiando ambos os lados:
onde é uma constante. Isolando :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Lembrando que :
Multiplicando ambos os lados por x:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde K é uma constante arbitrária.

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