Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea:
Aqui, “homogênea” significa que a equação tem termos que podem ser relacionados por uma substituição que simplifica a resolução. Para resolver esse tipo de EDO, geralmente usamos uma substituição que transforma a equação em uma forma mais fácil de integrar. Vamos precisar usar essa substituição para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a substituição. Dividindo todos os termos por
, temos:
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição que simplifique a relação entre
e
. Uma boa escolha aqui é definir
. Isso significa que
, e quando derivamos ambos os lados em relação a
, obtemos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original usando
:
Simplificando a raiz:
Podemos dividir todos os termos por
(assumindo
):
Rearranjando para isolar
:
Então,
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração à esquerda:
Podemos fatorar o 2 no denominador:
Simplificando a integral:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
e
. Substituindo:
Simplificando:
A integral de
é
, então:
Substituindo
de volta:
Removendo o sinal negativo e reescrevendo a constante:
Exponentiando ambos os lados:
onde
é uma constante. Isolando
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Lembrando que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDOs exatas.
Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Determine o termo geral das sequências a seguir.
-
; -
; -
.