Determine o termo geral da série infinita
e estude sua convergência, se
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o termo geral da série infinita
e estudar sua convergência. Para isso, nos foi dado o somatório parcial da série:
, onde
é um número natural. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e limites para resolver isso.
Passo 2
O termo geral
de uma série infinita é definido como a diferença entre dois somatórios parciais consecutivos. Ou seja,
Isso significa que para encontrar
, precisamos calcular a diferença entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Expandindo os numeradores:
Subtraindo:
Então, o termo geral é:
Passo 5
Agora, vamos estudar a convergência da série
. Uma maneira de fazer isso é analisando o limite do somatório parcial
conforme
tende ao infinito.
Dividindo numerador e denominador por
:
Como o limite de
é finito (
), a série converge e soma total é igual a
.
Resposta
O termo geral da série é
e a série
converge, com soma total igual a
.
Exercícios relacionados
Dar um exemplo de duas sequências diferentes que tenham os mesmos elementos.
Determine o valor de
para que
.
Determine todos os valores de
para os quais a série
converge.
Seja
as somas parciais da sequência
. A série é convergente?