Determine o termo geral da série infinita sumn=1^infty an e estude sua convergência, se sn= 2 n+3n+4, n in N.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o termo geral da série infinita e estudar sua convergência. Para isso, nos foi dado o somatório parcial da série: , onde é um número natural. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e limites para resolver isso.

Passo 2

O termo geral an = sn - sn-1 de uma série infinita é definido como a diferença entre dois somatórios parciais consecutivos. Ou seja,
Isso significa que para encontrar , precisamos calcular a diferença entre e .

Passo 3

Vamos calcular sn = 2n + 3n + 4 e sn-1 = 2(n-1) + 3(n-1) + 4 = 2n - 2 + 3n + 3 = 2n + 1n + 3 :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula de an = 2n + 3n + 4 - 2n + 1n + 3 :
an = (2n + 3)(n + 3) - (2n + 1)(n + 4)(n + 4)(n + 3)
Vamos simplificar essa expressão:
(2n + 3)(n + 3) = 2n^2 + 6n + 3n + 9 = 2n^2 + 9n + 9
Expandindo os numeradores:
(2n + 1)(n + 4) = 2n^2 + 8n + n + 4 = 2n^2 + 9n + 4
an = (2n^2 + 9n + 9) - (2n^2 + 9n + 4)(n + 4)(n + 3) = 5(n + 4)(n + 3)
Subtraindo:
an = 5(n + 4)(n + 3)
Então, o termo geral é:

Passo 5

Agora, vamos estudar a convergência da série limn to infty sn = limn to infty 2n + 3n + 4 . Uma maneira de fazer isso é analisando o limite do somatório parcial limn to infty 2 + 3n1 + 4n = 2 + 01 + 0 = 2 conforme tende ao infinito.
Dividindo numerador e denominador por :
Como o limite de é finito ( ), a série converge e soma total é igual a .

Resposta

O termo geral da série é e a série converge, com soma total igual a .

Exercícios relacionados

Dar um exemplo de duas sequências diferentes que tenham os mesmos elementos.
Determine o valor de c in R para que sumn=1^infty(c3)^n-1=3.
Determine todos os valores de k in R para os quais a série sumn=0^infty(k^2 n+1n+1)^n converge.
Seja s_n = 1 / (2^n) as somas parciais da sequência a_n. A série é convergente?