Determine os termos de grau
na expansão de Taylor da função
, definida por
no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os termos de grau menor ou igual a 2 na expansão de Taylor dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas parciais até a segunda ordem nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor da função no ponto
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
No ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
A segunda derivada parcial em relação a
é:
A segunda derivada parcial mista é:
A segunda derivada parcial em relação a
é:
No ponto
:
Passo 5
Com todos os valores calculados, montamos a expansão de Taylor até o termo de grau 2:
Substituindo os valores:
Resposta
Os termos de grau menor ou igual a 2 na expansão de Taylor de
no ponto
são:
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções, dadas por
Calcule a matriz Jacobiana de
.
Qual é o termo de grau 12 na fórmula de Taylor para a função
, definida por
Seja
uma função de duas variáveis com derivadas parciais de ordem
. Assuma que
e
e
. Mostre que
Suponha que
seja uma função qualquer com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tal que
e
seja um ponto crítico de
. Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau
de
em
.