Determine os termos de grau na expansão de Taylor da função , definida por
no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os termos de grau menor ou igual a 2 na expansão de Taylor dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas parciais até a segunda ordem nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função no ponto :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
A segunda derivada parcial em relação a é:
A segunda derivada parcial mista é:
A segunda derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 5

Com todos os valores calculados, montamos a expansão de Taylor até o termo de grau 2:
Substituindo os valores:

Resposta

Os termos de grau menor ou igual a 2 na expansão de Taylor de no ponto são:

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