Sejam e funções, dadas por
Calcule a matriz Jacobiana de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a matriz Jacobiana da composição das funções no ponto onde . Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais e usando conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como compor funções vetoriais e calcular derivadas parciais para montar a matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a composição de funções. A função significa que a gente vai pegar a saída da função e usar como entrada na função . Então, vamos calcular .
Dado:
Substituindo em :
Vamos simplificar isso:

Passo 3

Agora, precisamos achar a matriz Jacobiana de em . A matriz Jacobiana é uma matriz de derivadas parciais que nos mostra como as saídas de uma função vetorial mudam em relação às suas entradas. No caso de uma função de uma variável, como no nosso, a matriz Jacobiana será um vetor derivada.
Vamos calcular a derivada de cada componente de em relação a .
Primeiro, para a primeira componente:
A derivada de em relação a é:
Segundo, para a segunda componente:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz Jacobiana, que é um vetor com essas derivadas:

Passo 5

Por fim, queremos a matriz Jacobiana no ponto . Vamos substituir nas derivadas que encontramos:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:

Resposta

A matriz Jacobiana de em é:

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no ponto .
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