Suponha que seja uma função qualquer com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tal que e seja um ponto crítico de . Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau de em .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Sabemos que e que o ponto é um ponto crítico de , ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem nesse ponto são nulas. Nosso objetivo é escrever a expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau de em . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do polinômio de Taylor para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função de duas variáveis em torno do ponto :

Passo 3

Como nosso ponto de expansão é , substituímos e na fórmula:

Passo 4

Sabemos que e que �� um ponto crítico, ou seja, e . Então, substituímos esses valores na expressão:

Passo 5

Simplificando a expressão, eliminamos os termos que são multiplicados por zero:

Resposta

Portanto, o polinômio de Taylor de segundo grau de em é dado por:

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Seja uma função de duas variáveis com derivadas parciais de ordem . Assuma que e e . Mostre que
Determine os termos de grau na expansão de Taylor da função , definida por
no ponto .
Determine os valores extremos da função , definida por
tal que satisfaz .
Seja uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de .