Suponha que
seja uma função qualquer com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tal que
e
seja um ponto crítico de
. Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau
de
em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Sabemos que
e que o ponto
é um ponto crítico de
, ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem nesse ponto são nulas. Nosso objetivo é escrever a expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau
de
em
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do polinômio de Taylor para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função de duas variáveis
em torno do ponto
:
Passo 3
Como nosso ponto de expansão é
, substituímos
e
na fórmula:
Passo 4
Sabemos que
e que
�� um ponto crítico, ou seja,
e
. Então, substituímos esses valores na expressão:
Passo 5
Simplificando a expressão, eliminamos os termos que são multiplicados por zero:
Resposta
Portanto, o polinômio de Taylor de segundo grau
de
em
é dado por:
Exercícios relacionados
Seja
uma função de duas variáveis com derivadas parciais de ordem
. Assuma que
e
e
. Mostre que
Determine os termos de grau
na expansão de Taylor da função
, definida por
no ponto
.
Determine os valores extremos da função
, definida por
tal que
satisfaz
.
Seja
uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de
.