Seja
uma função de duas variáveis com derivadas parciais de ordem
. Assuma que
e
e
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função de duas variáveis,
, que tem derivadas parciais até a segunda ordem. A gente sabe que
e que, para qualquer vetor
e qualquer escalar
, a função satisfaz
. O objetivo é mostrar que:
Aqui,
e
representa o operador gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais, operadores diferenciais e como aplicar a regra da cadeia em funções homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a condição
. Isso indica que a função
é homogênea de grau 2. Em termos simples, se a gente escala os argumentos da função por um fator
, o valor da função é escalado por
. Essa propriedade é importante porque nos ajuda a relacionar as derivadas da função em diferentes pontos.
Passo 3
Agora, vamos usar essa propriedade de homogeneidade para encontrar uma relação entre as derivadas da função
no ponto
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Isso nos permitirá conectar as derivadas parciais de
no ponto
com a função em um ponto genérico
.
Passo 4
Primeiro, derivamos a equação em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados em relação a
para obter uma relação envolvendo as segundas derivadas:
Passo 6
Agora, avaliamos essa equação no ponto
. Sabemos que
e, aproveitando a continuidade das derivadas, temos:
Passo 7
Note que o lado esquerdo da equação pode ser escrito usando o operador gradiente
aplicado duas vezes:
Onde
,
e
são as derivadas parciais de segunda ordem de
no ponto
.
Passo 8
Comparando com a equação obtida no Passo 6, temos:
Isolando
, que é
:
Resposta
Portanto, mostramos que: