Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais de ordem <= 2. Assuma que f(0,0) = 0 e f(ta, tb) = t^2 f(a, b), ∀ t ∈ R^2 e P = (a, b) em R^2. Mostre que
f(P) = (P · nabla)² f(0,0) / 2!, P ∈ R²

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função de duas variáveis, f(x, y), que tem derivadas parciais até a segunda ordem. A gente sabe que e que, para qualquer vetor (a, b) e qualquer escalar t, a função satisfaz . O objetivo é mostrar que:
Aqui, e nabla representa o operador gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais, operadores diferenciais e como aplicar a regra da cadeia em funções homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição . Isso indica que a função f é homogênea de grau 2. Em termos simples, se a gente escala os argumentos da função por um fator t, o valor da função é escalado por t^2. Essa propriedade é importante porque nos ajuda a relacionar as derivadas da função em diferentes pontos.

Passo 3

Agora, vamos usar essa propriedade de homogeneidade para encontrar uma relação entre as derivadas da função f no ponto (0,0). Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a t. Isso nos permitirá conectar as derivadas parciais de f no ponto (0,0) com a função em um ponto genérico .

Passo 4

Primeiro, derivamos a equação em relação a t:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados em relação a t para obter uma relação envolvendo as segundas derivadas:

Passo 6

Agora, avaliamos essa equação no ponto . Sabemos que e, aproveitando a continuidade das derivadas, temos:

Passo 7

Note que o lado esquerdo da equação pode ser escrito usando o operador gradiente nabla aplicado duas vezes:
Onde , e são as derivadas parciais de segunda ordem de f no ponto (0,0).

Passo 8

Comparando com a equação obtida no Passo 6, temos:
Isolando , que é f(P):

Resposta

Portanto, mostramos que:

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