Determine the initial and final values of
if
is given by the expressions
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores inicial e final da função $ f(t) $ a partir da transformada de Laplace $ \mathbf{F}(s) = \frac{2\left(s^{2}+2s+6\right)}{(s+1)(s+2)(s+3)} $. Para isso, vamos utilizar os Teoremas do Valor Inicial e Final, que fazem parte do estudo de Transformadas de Laplace em Engenharia e Matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Inicial. Esse teorema nos permite encontrar o valor de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de zero ($ t \to 0^+ $) diretamente a partir de $ \mathbf{F}(s) $. A fórmula é:
Isso significa que multiplicamos a transformada de Laplace por $ s $ e calculamos o limite quando $ s $ tende ao infinito.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial na nossa função $ \mathbf{F}(s) $:
Para facilitar, vamos simplificar a expressão:
Agora, dividimos cada termo do numerador e denominador por $ s^3 $ (grau máximo do denominador):
Dividindo tudo por $ s^3 $:
Então, o valor inicial $ f(0^+) $ é 2.
Passo 4
Agora, vamos ao Teorema do Valor Final. Esse teorema nos ajuda a encontrar o valor de $ f(t) $ quando $ t $ tende ao infinito ($ t \to \infty $) a partir de $ \mathbf{F}(s) $. A fórmula é:
É importante notar que esse teorema só é válido se todos os polos de $ \mathbf{F}(s) $ tiverem partes reais negativas, garantindo a estabilidade do sistema.
Passo 5
Vamos aplicar o Teorema do Valor Final na nossa função $ \mathbf{F}(s) $:
Simplificando a expressão:
Substituindo $ s = 0 $:
Portanto, o valor final $ f(\infty) $ é 0.
Resposta
O valor inicial de $ f(t) $ é 2 e o valor final de $ f(t) $ é 0.