Determine the initial and final values of f(t) if F(s) is given by the expressions
F(s)=2(s^2+2 s+6)(s+1)(s+2)(s+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores inicial e final da função $ f(t) $ a partir da transformada de Laplace $ \mathbf{F}(s) = \frac{2\left(s^{2}+2s+6\right)}{(s+1)(s+2)(s+3)} $. Para isso, vamos utilizar os Teoremas do Valor Inicial e Final, que fazem parte do estudo de Transformadas de Laplace em Engenharia e Matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Inicial. Esse teorema nos permite encontrar o valor de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de zero ($ t \to 0^+ $) diretamente a partir de $ \mathbf{F}(s) $. A fórmula é:
f(t)
Isso significa que multiplicamos a transformada de Laplace por $ s $ e calculamos o limite quando $ s $ tende ao infinito.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial na nossa função $ \mathbf{F}(s) $:
F(s)
Para facilitar, vamos simplificar a expressão:
f(0^+) = lims to infty s cdot 2(s^2+2s+6)(s+1)(s+2)(s+3)
Agora, dividimos cada termo do numerador e denominador por $ s^3 $ (grau máximo do denominador):
f(0^+) = lims to infty 2s(s^2+2s+6)(s+1)(s+2)(s+3)
Dividindo tudo por $ s^3 $:
s^3
Então, o valor inicial $ f(0^+) $ é 2.

Passo 4

Agora, vamos ao Teorema do Valor Final. Esse teorema nos ajuda a encontrar o valor de $ f(t) $ quando $ t $ tende ao infinito ($ t \to \infty $) a partir de $ \mathbf{F}(s) $. A fórmula é:
f(t)
É importante notar que esse teorema só é válido se todos os polos de $ \mathbf{F}(s) $ tiverem partes reais negativas, garantindo a estabilidade do sistema.

Passo 5

Vamos aplicar o Teorema do Valor Final na nossa função $ \mathbf{F}(s) $:
F(s)
Simplificando a expressão:
f(infty) = lims to 0 s cdot 2(s^2+2s+6)(s+1)(s+2)(s+3)
Substituindo $ s = 0 $:
f(infty) = lims to 0 2s(s^2+2s+6)(s+1)(s+2)(s+3)
Portanto, o valor final $ f(\infty) $ é 0.

Resposta

O valor inicial de $ f(t) $ é 2 e o valor final de $ f(t) $ é 0.

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