Determine the initial and final values of f(t) if F(s) is given by the expressions
F(s)=2(s+2)s(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar os valores inicial e final da função $ f(t) $ sabendo que a sua transformada de Laplace é dada por
f(t)
Vamos precisar usar os teoremas do valor inicial e do valor final, que nos ajudam a encontrar esses valores diretamente a partir da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o teorema do valor inicial. Esse teorema nos permite encontrar o valor da função $ f(t) $ quando $ t $ tende a zero, ou seja, $ f(0^+) $. A fórmula para isso é:
f(t)
Então, vamos calcular esse limite usando a expressão de $ \mathbf{F}(s) $:
t
Agora, vamos calcular o limite quando $ s $ tende ao infinito:
f(0^+)
Dividindo numerador e denominador por $ s $:
f(0^+) = lims to infty s cdot F(s)
Então, o valor inicial de $ f(t) $ é 2.

Passo 3

Agora, vamos para o teorema do valor final, que nos ajuda a encontrar o valor de $ f(t) $ quando $ t $ tende ao infinito, ou seja, $ f(\infty) $. A fórmula para esse teorema é:
f(t)
Vamos calcular esse limite usando novamente a expressão de $ \mathbf{F}(s) $:
t
Agora, calculamos o limite quando $ s $ tende a zero:
f(infty)
Portanto, o valor final de $ f(t) $ é 4.

Resposta

O valor inicial de $ f(t) $ é 2 e o valor final é 4.

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