Given the following functions
, find
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é $ \mathbf{F}(s) = \frac{(s+4)(s+8)}{s\left(s^{2}+8 s+32\right)} $, e precisamos encontrar a função no tempo, $ f(t) $. Isso envolve o Transformada de Laplace Inversa. Para resolver, vamos precisar de frações parciais e conhecer algumas transformadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador da função $ \mathbf{F}(s) $. Multiplicando $ (s+4)(s+8) $ dá:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar essa fração usando frações parciais. Queremos expressar $ \mathbf{F}(s) $ na forma:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que vamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por $ s\left(s^{2}+8 s+32\right) $ para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo a última equação primeiro:
Substituindo $ A = 1 $ na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, $ A = 1 $, $ B = 0 $ e $ C = 4 $.
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão das frações parciais:
Agora, vamos simplificar o segundo termo completando o quadrado no denominador:
Então,
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace Inversa em cada termo separadamente.
Para $ \frac{1}{s} $, sabemos que:
Para $ \frac{4}{(s + 4)^2 + 16} $, reconhecemos a forma da transformada de $ e^{-at} \sin(bt) $:
Aqui, $ a = 4 $ e $ b = 4 $, então: