Given the following functions F(s), find f(t).
F(s)=(s+4)(s+8)s(s^2+8 s+32)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é $ \mathbf{F}(s) = \frac{(s+4)(s+8)}{s\left(s^{2}+8 s+32\right)} $, e precisamos encontrar a função no tempo, $ f(t) $. Isso envolve o Transformada de Laplace Inversa. Para resolver, vamos precisar de frações parciais e conhecer algumas transformadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador da função $ \mathbf{F}(s) $. Multiplicando $ (s+4)(s+8) $ dá:
F(s)
Então, nossa função fica:
(s+4)(s+8)

Passo 3

Agora, precisamos simplificar essa fração usando frações parciais. Queremos expressar $ \mathbf{F}(s) $ na forma:
F(s)
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que vamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por $ s\left(s^{2}+8 s+32\right) $ para eliminar os denominadores:
s(s^2+8 s+32)
Expandindo o lado direito:
s^2 + 12s + 32 = A(s^2 + 8s + 32) + (Bs + C)s
Agrupando os termos semelhantes:
s^2 + 12s + 32 = A s^2 + 8A s + 32A + B s^2 + C s

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 1 8A + C = 12 32A = 32
Resolvendo a última equação primeiro:
32A = 32 Rightarrow A = 1
Substituindo $ A = 1 $ na primeira equação:
A = 1
E na segunda equação:
1 + B = 1 Rightarrow B = 0
Então, $ A = 1 $, $ B = 0 $ e $ C = 4 $.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão das frações parciais:
F(s) = 1s + 0 cdot s + 4s^2+8s+32 = 1s + 4s^2+8s+32
Agora, vamos simplificar o segundo termo completando o quadrado no denominador:
s^2 + 8s + 32 = (s + 4)^2 + 16
Então,
4s^2+8s+32 = 4(s + 4)^2 + 16

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace Inversa em cada termo separadamente.
Para $ \frac{1}{s} $, sabemos que:
1s
Para $ \frac{4}{(s + 4)^2 + 16} $, reconhecemos a forma da transformada de $ e^{-at} \sin(bt) $:
L^-11s = 1
Aqui, $ a = 4 $ e $ b = 4 $, então:
4(s + 4)^2 + 16

Resposta

f(t) = 1 + e^-4t sin(4t)

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