Given the following functions F(s), find f(t).
F(s)=s(s+6)(s+3)(s^2+6 s+18)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é a função de Laplace $ \mathbf{F}(s) = \frac{s(s+6)}{(s+3)\left(s^{2}+6s+18\right)} $. Nosso objetivo é encontrar a função no tempo $ f(t) $. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, principalmente a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ \mathbf{F}(s) $. Vamos expandir o numerador:
F(s)
Então, nossa função fica:
s(s + 6) = s^2 + 6s

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes menores para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Usaremos a decomposição em frações parciais, assumindo que:
s^2 + 6s(s + 3)(s^2 + 6s + 18) = As + 3 + Bs + Cs^2 + 6s + 18
Nossa meta é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora $ (s + 3)(s^2 + 6s + 18) $ para eliminar os denominadores:
(s + 3)(s^2 + 6s + 18)
Agora, expandimos os termos do lado direito:
s^2 + 6s = A(s^2 + 6s + 18) + (Bs + C)(s + 3)

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
s^2 + 6s = (A + B)s^2 + (6A + 3B + C)s + (18A + 3C)
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de $ s $ em ambos os lados da equação:
s

Passo 6

Resolvemos esse sistema de equações. Da terceira equação:
18A + 3C = 0 implies 6A + C = 0 implies C = -6A
Substituímos $ C $ na segunda equação:
C
Agora, da primeira equação:
6A + 3B - 6A = 6 implies 3B = 6 implies B = 2
E, já que $ C = -6A $:
A + 2 = 1 implies A = -1

Passo 7

Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, a decomposição fica:
A

Passo 8

Vamos agora simplificar a segunda fração. Observe que $ s^2 + 6s + 18 $ pode ser completado ao quadrado:
s^2 + 6s + 18
Então, a fração fica:
s^2 + 6s + 18 = (s + 3)^2 + 9
Ou seja,
2s + 6(s + 3)^2 + 9 = 2(s + 3)(s + 3)^2 + 9 + 0(s + 3)^2 + 9

Passo 9

Agora, nossa função $ \mathbf{F}(s) $ está assim:
F(s)
Vamos agora usar a tabela de transformadas de Laplace para inverter cada termo.

Passo 10

Sabemos que:
L^-1 1s + a = e^-at
E também:
L^-1 s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-at cos(bt)
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-1 -1s + 3 = -e^-3t
E
L^-1 2(s + 3)(s + 3)^2 + 9 = 2 e^-3t cos(3t)

Passo 11

Finalmente, juntando os dois termos, temos a função no tempo $ f(t) $:
f(t)
Podemos fatorar $ e^{-3t} $ para simplificar:
f(t) = -e^-3t + 2 e^-3t cos(3t)

Resposta

A função no tempo é $ f(t) = e^{-3t} \left( -1 + 2, \cos(3t) \right ) $.

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