Given the following functions
, find
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é a função de Laplace $ \mathbf{F}(s) = \frac{s(s+6)}{(s+3)\left(s^{2}+6s+18\right)} $. Nosso objetivo é encontrar a função no tempo $ f(t) $. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, principalmente a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ \mathbf{F}(s) $. Vamos expandir o numerador:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em partes menores para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Usaremos a decomposição em frações parciais, assumindo que:
Nossa meta é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora $ (s + 3)(s^2 + 6s + 18) $ para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de $ s $ em ambos os lados da equação:
Passo 6
Resolvemos esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituímos $ C $ na segunda equação:
Agora, da primeira equação:
E, já que $ C = -6A $:
Passo 7
Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, a decomposição fica:
Passo 8
Vamos agora simplificar a segunda fração. Observe que $ s^2 + 6s + 18 $ pode ser completado ao quadrado:
Então, a fração fica:
Ou seja,
Passo 9
Agora, nossa função $ \mathbf{F}(s) $ está assim:
Vamos agora usar a tabela de transformadas de Laplace para inverter cada termo.
Passo 10
Sabemos que:
E também:
Aplicando isso aos nossos termos:
E
Passo 11
Finalmente, juntando os dois termos, temos a função no tempo $ f(t) $:
Podemos fatorar $ e^{-3t} $ para simplificar:
Resposta
A função no tempo é $ f(t) = e^{-3t} \left( -1 + 2, \cos(3t) \right ) $.