Determine the initial and final values of
if
is given by the expressions
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores inicial e final da função $ f(t) $ a partir da sua transformada de Laplace $ \mathbf{F}(s) = \frac{2 s{2}}{(s+1)\left(s{2}+2 s+2\right)} $. Para isso, vamos usar os Teoremas do Valor Inicial e Final da transformada de Laplace. Esses teoremas nos ajudam a encontrar os valores de $ f(t) $ em $ t = 0 $ e quando $ t $ tende ao infinito, sem precisar fazer a transformação inversa completa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor inicial, ou seja, $ f(0^+) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Inicial, que diz:
Vamos substituir $ \mathbf{F}(s) $ na fórmula:
Agora, calculamos o limite quando $ s $ tende ao infinito. Observando os maiores termos do numerador e denominador:
- Numerador: $ 2 s^{3} $
- Denominador: $ s \cdot s^{2} = s^{3} $
Portanto, o limite fica:
Então, $ f(0^+) = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor final, ou seja, $ f(\infty) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Final, que diz:
Substituindo $ \mathbf{F}(s) $:
Agora, calculamos o limite quando $ s $ tende a zero:
Então, $ f(\infty) = 0 $.
Resposta
O valor inicial de $ f(t) $ é 2 e o valor final de $ f(t) $ é 0.