Determine the initial and final values of f(t) if F(s) is given by the expressions
F(s)=2 s^2(s+1)(s^2+2 s+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores inicial e final da função $ f(t) $ a partir da sua transformada de Laplace $ \mathbf{F}(s) = \frac{2 s{2}}{(s+1)\left(s{2}+2 s+2\right)} $. Para isso, vamos usar os Teoremas do Valor Inicial e Final da transformada de Laplace. Esses teoremas nos ajudam a encontrar os valores de $ f(t) $ em $ t = 0 $ e quando $ t $ tende ao infinito, sem precisar fazer a transformação inversa completa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor inicial, ou seja, $ f(0^+) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Inicial, que diz:
f(0^+)
Vamos substituir $ \mathbf{F}(s) $ na fórmula:
f(0^+) = lims to infty s cdot F(s)
Agora, calculamos o limite quando $ s $ tende ao infinito. Observando os maiores termos do numerador e denominador:
  • Numerador: $ 2 s^{3} $
  • Denominador: $ s \cdot s^{2} = s^{3} $
Portanto, o limite fica:
F(s)
Então, $ f(0^+) = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor final, ou seja, $ f(\infty) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Final, que diz:
f(infty)
Substituindo $ \mathbf{F}(s) $:
f(infty) = lims to 0 s cdot F(s)
Agora, calculamos o limite quando $ s $ tende a zero:
F(s)
Então, $ f(\infty) = 0 $.

Resposta

O valor inicial de $ f(t) $ é 2 e o valor final de $ f(t) $ é 0.

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