A transformada de Laplace inversa de
é
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} $. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é um conteúdo da matemática aplicada, especialmente utilizado em engenharia e física para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades das transformadas de Laplace e como aplicá-las para encontrar a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da fração: $ (s+2)^{2} + 1 $. Isso se assemelha à forma $ (s+a)^{2} + b^{2} $, que é comum nas transformadas de Laplace de funções trigonométricas como seno e cosseno.
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace de $ e^{-at} \cos(bt) $ é $ \frac{s+a}{(s+a)^{2} + b^{2}} $. Comparando com a nossa expressão, identificamos que $ a = 2 $ e $ b = 1 $.
Passo 4
Usando essa correspondência, podemos concluir que a transformada inversa de $ \frac{s+2}{(s+2)^{2} +1} $ é $ e^{-2t} \cos(t) $.
Resposta
A transformada de Laplace inversa de $ \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} $ é $ e^{-2t} \cos(t) $.