Two vector fields represented by A=ax Ax+ay Ay+az Az and B=ax Bx+ ay By+az Bz, where all components may be functions of space coordinates. If these two fields are parallel to each other everywhere, what must be the relations between their components?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos vetoriais, e , cada um com componentes nas direções , e . A questão pergunta quais relações devem existir entre as componentes desses campos para que eles sejam paralelos em todos os pontos do espaço. Vamos usar conceitos de vetores paralelos e relações entre componentes vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Quando dois vetores são paralelos, significa que um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número A = lambda B tal que:
Isso implica que cada componente de é igual a vezes a correspondente componente de .

Passo 3

Vamos aplicar essa relação às componentes dos vetores. Temos:
A = ax Ax + ay Ay + az Az
B = ax Bx + ay By + az Bz
Portanto, substituindo na relação ax Ax + ay Ay + az Az = lambda (ax Bx + ay By + az Bz) , obtemos:

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes de cada direção:
Ax = lambda Bx
Ay = lambda By
Az = lambda Bz
Essas equações mostram que, para que os vetores e sejam paralelos em todos os pontos, cada componente de deve ser um múltiplo escalar da respectiva componente de , com o mesmo para todas as direções.

Resposta

As componentes devem satisfazer , e , onde é um fator escalar.

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