Two vector fields represented by
and
, where all components may be functions of space coordinates. If these two fields are parallel to each other everywhere, what must be the relations between their components?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos vetoriais,
e
, cada um com componentes nas direções
,
e
. A questão pergunta quais relações devem existir entre as componentes desses campos para que eles sejam paralelos em todos os pontos do espaço. Vamos usar conceitos de vetores paralelos e relações entre componentes vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Quando dois vetores são paralelos, significa que um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número
tal que:
Isso implica que cada componente de
é igual a
vezes a correspondente componente de
.
Passo 3
Vamos aplicar essa relação às componentes dos vetores. Temos:
Portanto, substituindo na relação
, obtemos:
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes de cada direção:
Essas equações mostram que, para que os vetores
e
sejam paralelos em todos os pontos, cada componente de
deve ser um múltiplo escalar da respectiva componente de
, com o mesmo
para todas as direções.
Resposta
As componentes devem satisfazer
,
e
, onde
é um fator escalar.